Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-12 | 705 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Числовая последовательность { a n } называется ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа А:
a n < А (п = 1, 2, 3,...).
Примером такой последовательности может служить последовательность
1/2, 2/3, 3/4,..., n / n +1,...,
все члены которой меньше 1:
a n < 1.
Здесь в роли А выступает число 1. Вместо него можно было бы выбрать 2, 3, 5/2 и т. д., поскольку любое число рассматриваемой последовательности меньше каждого из этих чисел. Важно не то, какое число выбрано в качестве А, а то, что хотя бы одно такое число существует.
Важным примером последовательности, ограниченной сверху, служит последовательность
p 4, p 8, p 16, p 32,... (1)
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в одну и ту же окружность. Для доказательства ограниченности этой последовательности мы поступим следующим образом. Наряду с данной последовательностью рассмотрим последовательность
Р4, Р8, Р16, Р32,... (2)
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около той же самой окружности. Очевидно, что сторона АВ правильного 2 n -угольника, вписанного в окружность, меньше стороны А'В' правильного 2 n -угольника, описанного около этой окружности (рис. 200).
Поэтому
p 2 n < Р2 n (3)
Как было отмечено в предыдущем параграфе, последовательность (2) является монотонно убывающей. Поэтому каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше первого члена Р4. Следовательно, для любого п > 2
P2 n < Р4 (4)
Из (3) и (4) вытекает, что
p 2 n < Р4
Но Р4 = 8 r, где r — радиус окружности. Итак, для всех п >2
p 2 n < 8 r.
Это неравенство и говорит о том, что последовательность (1) ограничена сверху. Роль А в данном случае играет число 8 r.
Если члены ограниченной сверху числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, эти все точки расположатся левее точки с абсциссой А (рис. 201).
|
Числовая последовательность { a n } называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа В:
a n > В (п = 1, 2, 3,...).
Примером такой последовательности может служить натуральный ряд чисел
1, 2, 3, 4, 5.....
Он ограничен снизу, так как все его члены больше нуля (В = 0). В качестве В можно было бы указать и любое отрицательное число или 1/2, 1/3 и т.д. Как и в случав последовательности, ограниченной сверху, здесь важно не то, какое число выбрать в качестве В, а то, что хотя бы одно такое число существует.
Важным примером последовательности, ограниченной снизу, является последовательность
Р4, Р8, Р16,...
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около окружности. В этом легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы проводили выше при исследовании последовательности
p 4, p 8, p 16,...
Если члены ограниченной снизу числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, то все точки расположатся правее точки с абсциссой В (рис. 202).
Числовая последовательность, ограниченная одновременно и снизу и сверху, называется ограниченной.
Другими словами, числовая последовательность a 1, a 2,..., a n,... называется ограниченной, если существуют числа А и В такие, что при любом п
А < a n < В (п = 1, 2, 3,...).
Очевидно, что все точки числовой оси, соответствующие членам такой числовой последовательности, заключены в отрезке, концы которого имеют абсциссы А и В (рис. 203).
Примеры.
1) sin 1, sin 2, sin 3,..., sin n.....
Для этой последовательности a n = sin п. При любом п
—2 <sin n < 2.
Поэтому данная числовая последовательность ограничена.
2) 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;....
Члены этой последовательности представляют собой десятичные приближения числа √2. Очевидно, что 1 < a n < 2, так что эта последовательность также ограничена.
3) Ограниченными будут, очевидно, и рассмотренные выше последовательности:
|
p 4, p 8, p 16, p 32,...
Р4, Р8, Р16, Р32,...
составленные из периметров правильных 2 n -угольников, вписанных и описанных около некоторой окружности.
22 вопрос
Бесконечно малая величина
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Свойства бесконечно малых
23 вопрос
Определение
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной изеёподпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Обозначения
Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:
Свойства
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
|
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
Свойства
Арифметические свойства
Свойства сохранения порядка
|
Другие свойства
24 вопрос
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!