Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-12 | 352 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Пусть (xn) = {x1,x2,x3...xn} –некоторая числовая последовательность.
Говорят, что число а является пределом последовательности, если для любого e>0 существует N=N(e) такой, что при всех n>N выполняется |xn-a|<e
В этом случае этот факт записывают = a
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Определение. Говорят, что последовательность имеет своим пределом +¥(-¥_ и пишут = +¥ ( = -¥) если для любого числа Е>0 существует N=N(E) – такой номер, что при всех n>N выполняется xn>E (xn<-E)
Последовательность xn называется ограниченной, если существует M>0 такое что |xn|<M при всех nÎN.
Теорема 1.
1. Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа.
2. Последовательность не может иметь двух раздичных пределов.
3. Любая сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 2.
Пусть =А =B
Тогда:
1. +yn) = A+B
2. yn = AB
3. /yn = A/B если В¹0
Последовательность xn – убывающая, если xn> xn+1 при всех nÎN. И невозрастающая, если xn>= xn+1 при всех nÎN. Возрастающая xn< xn+1. Неубывающая xn<= xn+1
Убывающая, невозрастающая, возрастающая, неубывающая последовательности называются монотонными.
Теорема. Любая ограниченная монотонная последовательность сходится (имеет предел).
ЧИСЛО Е.
Неравенство Бермули (1+a)n>= 1+na, a>-1
Теорема. Последовательность xn = (1+1/n)n сходится, т.е. имеет предел.
Доказательство:
Рассмотрим
Ясно также, что yn>0 при всех nÎN, т.к. yn ограничена.
По предыдущей теореме
Пределом xn = (1+1/n)n называется число е = 2,718281828459045
|
е играет огромную роль в анализе, а сам предел называется вторым замечательным пределом. Логарифм по основанию числа е называют натуральным логарифмом.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ, БЕСКОНЕЧНОСТИ. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.
Пусть f(x) – некоторая ф-я, x0ÎR
Определение: число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любой последовательности xn, сходящейся к x0 ( = x0) соответствующая последовательность значений функции f(xn) сходится к А.
= A
Определение. Число А называется пределом функции в ¥(-¥) если для любого e>0 существует D = D(e)>0 такое, что при всех x>D (x< -D) выполняется неравенство |f(x) – A|<e
= A ( = A)
Определение. Говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет своим пределом +¥(-¥) если для любого Е>0 существует d=d(E)>0 такое, что при всех xÎ(x0-d, x0+d) выполняется f(x)>E (f(x)<-E)
= +¥(-¥)
Односторонние пределы.
Определение. Число А называется левосторонним (пределом слева) пределом функции f(x) в точке x0 если "e>0 $d=d(e)>0 такое, что при всех хÎ(x0 -d, x0) выпоняется |f(x) – A|<e
= A.
Аналогично – правосторонний предел. хÎ(x0, x0+d), |f(x) – A|<e
= A.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИИ.
Теорема1. Для существования предела ф-ии f(x) в точке x0 необходимо и достаточно существование обоих односторонних пределов в этой точке и их равенство.
Теорема2. Если функция f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и для всех xÎO(x0) имеет место неравенство f(x)<=g(x), то limx->x0f(x)<= limx->x0g(x) если они существуют.
Теорема3. Пусть в окрестности точки x0 – O(x0) определены ф-ии f(x), j(x), y(x) и f(x)£ j(x)£ y(x)
Предположим, что существует = =A
Тогда существует = A
Теорема4. Пусть = A и = B
Тогда:
1. ± = A ± B
2. g(x) = AB
3. /g(x) = A/B, B¹0
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!