Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-12 | 425 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема Ролля. Если функция непрерывна,на отрезке , и дифференцируема в промежутке и принимает на концах отрезка равные значения , то в промежутке найдется по крайней мере одна такая точка , в которой производная будет равна нулю:
Теорема Коши. Если две функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в промежутке , причем производная второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функций на отрезке равно отношению их производных в некоторой точке с промежутка , быть может, не единственной: (5.7)
Заметим, что , так как иначе по теореме Ролля производная обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка , а по условию теоремы Коши в этом промежутке.
Доказательство. Введем вспомогательную функцию , где — неопределенный пока постоянный множитель, и выберем так, чтобы функция удовлетворяла на отрезке всем условиям теоремы Ролля. Для этого нам достаточно потребовать, чтобы , так как остальным условиям теоремы Ролля функция удовлетворяет: она непрерывна на отрезке и дифференцируема в промежутке , так как этими свойствами обладают обе функции и .
Итак, потребуем, чтобы или чтобы . Это дает для множителя конечное значение:
(5.8) поскольку .
При таком значении функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля. Поэтому ее производная обратится в нуль по крайней мере в одной точке промежутка : ; или, так как , то . По условию теоремы [ в промежутке ]. Поэтому из предыдущего равенства найдем (5.9)
Сравнивая правые части равенств (5.8) и (5.9), определяющих одно и то же число , получим равенство (14.7). Теорема Коши доказана.
Теорему Лагранжа получим, положив , в силу чего , и .
|
Внося эти-значения в равенство (5.7), получаем (5.10) или (5.11)
Полученная формула (5.11) называется формулой Лагранжа, и определяет содержание теоремы Лагранжа: конечное приращение на отрезке функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке отрезка .
Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой (5.10). В ней левая часть равна угловому коэффициенту уравнения хорды , соединяющей точки и графика функции (см. рис. 5.18):
Правая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к этому графику в точке с абсциссой , где (рис. 5.18):
Формула (5.10) устанавливает равенство этих угловых коэффициентов, т. е. параллельность хорды и касательной. Таким образом, геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: На произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.
Тот же геометрический смысл имеет и теорема Коши, если рассматривать функции и как параметрические уравнения некоторой кривой на плоскости , а при этом считать параметром этой кривой.
Правило Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида (1)
Доказательство.
Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при . Предположим, что функции f(x) и g(x), а также их производные непрерывны в точке x0, причем и
В этом случае
Применяя теорему Лагранжа для функций f(x) и g(x) на отрезке , получим где
При в силу непрерывности производных и имеем и
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!