Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-12 | 178 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b ], (–µ; a), [ b;µ), (–µ; µ).
Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.
При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».
Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.
|
Значениям непрерывной случайной величины присуща некоторая неопределенность. Например, нет практического смысла различать два отклонения от номинального размера, равные 0,5 мм и 0,5000025 мм. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.
Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < x < х + D х
P (х < x < х + D х).
Здесь D х – величина малого интервала.
Очевидно, что если D х ® 0, то P (х < x < х + D х)® 0. Обозначим р (х) предел отношения P (х < x < х + D х) к при D х ® 0, если такой предел существует:
Функция р (х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин D х, которое также можно считать определением функции р (х):
P (х < x < х + D х) p (x)D х
Очевидно, что p (x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [ a, b ] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x 1, х 2,¼, хn удовлетворяющие условию а=х 0< х 1< x 2<¼< xn < b=xn+ 1. Эти числа разобьют промежуток [ a, b ] на n +1 частей, представляющих собой промежутки [ х 0, х 1), [ х 1, х 2), ¼,[ хn, b ]. Введём обозначения:
D х 0= х 1 – х 0, D х 1= х 2 – х 1, ¼, D хn = b – хn, и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина D хi стремится к нулю. Будем считать функцию p (x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [ a; b ] от функции p (x), равный искомой вероятности:
|
P (a £ x £ b) =
Это равенство можно также рассматривать как определение функции р (х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х 1, х 2) равна площади фигуры, образованной отрезком [ х 1, х 2] оси х,графиком функции р (х) и вертикальными прямыми х = х 1, х = х 2, как изображено на рисунке 1.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р (х) – её плотности распределения справедливо равенство
Для удобства иногда считают функцию р (х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р (х), удовлетворяющая двум условиям:
1) р (х) ³ 0;
2)
Можно задавать случайную величину, задавая функцию р (х), удовлетворяющую этим условиям.
В качестве примера рассмотрим случайную величину x, равномерно распределённую на промежутке [ a; b ]. В этом случае р (х) постоянна внутри этого промежутка:
По свойству 2) функции р (х)
Отсюда . График функции р (х) представлен на рисунке 2.
Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует
Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F (x), которая определяется равенством ,
называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство
Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р (х) называют дифференциальной функцией распределения.
Функция распределения F (x) случайной величины x имеет следующие свойства.
1. F (x) — непрерывная возрастающая функция.
|
2. ;
Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F (x).
3. Приращение F (x) на промежутке (х 1; х 2) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка:
F (x 2) – F (x 1) = P (x 1 < x £ x 2)
Доказательство.
F (x 2) = P (x £ x 2) = P (x £ x 1) + P (x 1 < x £ x 2) = F (x 1) + P (x 1 < x £ x 2)
Отсюда
P (x 1 < x £ x 2) = F (x 2) – F (x 1)
Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливы равенства
P (x 1 < x £ x 2) = P (x 1 < x < x 2) = P (x 1 £ x < x 2) = P (x 1 £ x £ x 2)
Для равномерного распределения функция F (x) имеет вид:
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!