Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 226 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рис. 1 |
Теорема 1. Любой вектор можно единственным образом разложитьпо базису , т.е. представить в виде
, (1)
где - числа
22. Определение скалярного произведения, его свойства имеханический смысл. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов и нулевой, то скалярное произведение равно нулю.
Таким образом,
(4)
где – угол между векторами и (рис. 2).
Скалярное произведение обозначают символом , или , или .
По формуле поэтому выражение (4) можно записать:
.(5)
Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства:
1) – коммутативность;
2) – ассоциативность, ;
3) – дистрибутивность;
4) . Доказательство. Коммутативность скалярного произведения непосредственно вытекает из формулы (4).
Докажем свойство 2). С учетом формул (5), будем иметь
(6)
Доказательство свойства 3). По формуле (5)
(7)
Согласно формуле (),
.
Таким образом, с учетом (7) и формулы (5), получаем
Для доказательства свойства 4) заметим, что по формуле (4) , если , т.е. если . Если же , то также, по определению скалярного произведения, Но, тогда и, поэтому, равенство в случае также справедливо. □
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . На основании свойства 4) имеем: , отсюда, в частности,
Из свойств 1) и 2) вытекает, что
.(8)
Из свойства 3) следует, что при скалярном умножении векторных многочленов можно выполнять действия почленно и, в силу (8), объединять коэффициенты векторных сомножителей
|
23. Перпендикулярности двух векторов. Сформулируем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.
Свойство 5). Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть и . Тогда
Достаточность. Пусть и Используя формулу (4), получаем лишь если или . Значит, . □
Из равенства (4) получаем формулу для определения косинуса угла между ненулевыми векторами:
.(9)
Отметим, что из свойств 4) и 5) для базисных векторов непосредственно получаем следующие равенства:
Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Если векторы и заданы своими координатами: , то их скалярное произведение вычисляется по формуле
.(11)
Доказательство. Разложим векторы и по базису согласно формуле (4):
Тогда
(12)
Из формулы (8) и свойства 5) вытекает необходимое и достаточное условие перпендикулярности ненулевых векторов и : сумма произведений одноименных координат этих векторов равна нулю, т.е.
.
24. Ориентация тройки векторов в пространстве. Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи вектор считается первым, – вторым, – третьим; в записи вектор – первый, – второй, – третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.
25. Векторное произведение двух векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторным произведениемвекторов и называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен так, что векторы образуют правую тройку векторов (рис. 1).
|
Рис. 1 | Рис. 2 |
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.
Из определения векторного произведения следует, что (рис.1)
, (1)
где – угол между векторами и , S – площадь параллелограмма.
Векторное произведение двух векторов и обозначают символом
, или , или .
Выясним физический смысл векторного произведения. В физике момент силы с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором , перпендикулярным плоскости, в которой лежат точка О и вектор (рис. 2), таким, что тройка векторов – правая. Длина вектора определяется как произведение длины вектора на плечо , где – расстояние от точки О до прямой, на которой лежит вектор силы , т.е. , или – радиус–вектор точки приложения силы . Таким образом, момент силы относительно некоторой точки , есть векторное произведение радиус–вектора точки приложения силы на вектор силы : .
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!