Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-12 | 339 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
точка а Сz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке ане определена.
Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция
имеет в точке =0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f (z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
б) полюсом, если
в) существенно особой точкой, если
не существует.
Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и =0 функции совпадают, ибо
Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия
f (a)=f (a)=…=f (m-1)(a)=0,
f (m)(a) 0.
При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции
Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).
Замечание.
Вообще, если
, где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).
Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).
Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция
имеет нуль кратности т в точке =0.
|
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,
.
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т 1, если главная часть имеет вид
, где ст 0.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид
Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.
Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z= .
60.Вычеты и их приложения
Вычетом функции в изолированной точке называется интеграл
(66) |
где - замкнутый контур, содержащий одну особую точку . Эквивалентное определение вычета можно получить, сравнивая (66) с выражением для коэффициентов ряда Лорана (61), тогда вычетом функции называется значение коэффициента ряда Лорана в окрестности точки :
(67) |
Из определений вычета следует, что если - правильная точка функции , то . Если точка является полюсом, то удобно рассмотреть отдельные случаи:
-полюс первого порядка:
|
(68) |
так как в случае полюса первого порядка функция может быть представлена в виде , причем - ноль первого порядка функции , то
(69) |
-полюс порядка :
(70) |
Вычетом функции в точке называется интеграл
(71) |
причем во внешней части контура функция не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от . Эквивалентно, с помощью коэффициентов ряда Лорана в окрестности бесконечности, .
(72) |
На основе этих определений можно показать, что имеет место следующая теорема:если функция является аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек (включая бесконечную) , тогда
(73) |
Вычисление вычетов
Вычеты и их применение
- вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z0:
(в круге нет других особых точек).
Если то
Вычисление вычетов
1. z0 - устранимая особая точка:
2. z0 - полюс:
а) z0 - простой полюс:
В частности, если то
б) z0 - полюс порядка m:
(формула также верна, если z0 - полюс порядка не выше m).
3. z0 - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!