Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 289 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называетсяортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системеназывается ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где ,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
|
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x):
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n=1,2,..., k=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор
при этом, .
50. Преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье трансформирует последовательность комплексных (либо вещественных) чисел xn в последовательность комплексных чисел Xn. Прямое и обратное преобразования Фурье определяются, как:
Приведенные выше формулы имеют сложность O(N 2), однако широко известен способ снизить сложность дискретного преобразования Фурье доO(N·log(N)). Быстрое преобразование Фурье широко используется как само по себе, так и для ускорения вычисления других преобразований - быстрого вычисления свертки и кросс-корреляции.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!