F(k)- аналогично прошлому гр-ку

Sf(k)- такая же хрень как f(к),только ниже

sf(k)

к*-точка пересечения sf(k) & f(k)

k^* k

При увеличении доли сбережения (0 < s < 1) кривая sf(k) приближается к f(k). Соответственно растут k^* и f(k^*), из чего следует рост уровня потребления (с = f(k^*) – sk^*). Другим следствием роста s является увеличение сбережения (sf(k)), и, на этот раз, уже снижение потребления. Таким образом, нужно найти такой уровень капиталовооружённости k^*, который обеспечил бы устойчивый уровень накопления капитала с максимальным уровнем потребления (золотой уровень капиталовооружённости). Для этого достаточно вычислить: c’ = (f(k^*) – сигмаk^*)’ = 0. Или: f ‘(k^*) = сигма = MPK.

Модель Солоу с учётом роста населения.

Предположим, что население растёт с постоянным темпом n = DL/L. Поскольку k = K/L, темп роста k равен:

§k= §(k/l)= (§k*l -§l*k)/ l^2= §k/l - §l/l*k/l= sF(K,L)/L - СИГМА*К/L -§L/L*K/L= sf(k) - сигма*k -nk

§k = sF(K,L) - сигмаk

sf(k*)=k*(сигма + n)

Это ключевое уравнение показывает, что рост капитала на одного рабочего (§k) равен сбережениям на душу населения (sf(k)) минус (сигма + n)k. Рассмотрим полученное нами выражение более внимательно. Темпы роста суммарной рабочей силы равны n. Определённая сумма сбережений на душу населения должна быть использована для обеспечения каждого из вновь поступающих работников объёмом капитала k, т.е. общая сумма равна nk. В тоже время определённая сумма сбережений должна быть использована для замены выбывшего капитала; она равна сигмаk. Таким образом, среднедушевые сбережения должны быть использованы в размере (n + сигма)k для обеспечения капиталовооружённости (отношения “капитал – труд”) на постоянном уровне k.

Условие устойчивого уровня накопления капитала можно переписать следующим образом:

§k^* = sf(k^*) – (n + сигма)k^* = 0, или: sf(k^*) = (n + сигма)k^*.

Таким же образом можно переписать и уравнение, характеризующее золотой уровень капиталовооружённости:

c’ = (f(k^*) – (n + s)k^*)’ = 0. Или: f ‘(k^*) = n + сигма = MPK

Модель Солоу с учётом НТП

Предположим, что научно-технический прогресс является трудосберегающим, т.е. количество труда, вложенного каждым работником, возрастает с течением времени и этот рост предположительно происходит благодаря развитию профессиональных навыков, повышению образовательного уровня и т.д. На самом деле не принципиально, какой научно-технический прогресс имеет место, т.к. это определяет лишь то, к какой переменной нужно приписать параметр технологических изменений T. В случае трудосберегающего прогресса на T мы домножаем L: У = F(K,T * L). Более высокий уровень технического прогресса, выражающийся в большей величине T, означает, что вклад труда L увеличился. Результаты каждого часа рабочего времени каждого рабочего возрастают. Общее количество вложенного труда, определяемое как T *L, иногда называют эффективным вложенным трудом или просто эффективным трудом.

Предположим, что технологические изменения происходят с постоянной скоростью q, т.е. DT/T = q.

В этом случае темп роста эффективного труда равен n + q. Таким образом, эффективный труд растёт по двум причинам: за счёт роста населения и за счёт роста производительности каждого отдельного рабочего. Темп роста эффективного труда равен сумме этих двух темпов роста. Следовательно, технологические изменения увеличивают темп экономического роста в устойчивом состоянии, потому что они повышают темп роста рабочей силы, измеряемой с учётом её эффективности.

Вообще говоря, технический прогресс в плане его количественной оценки понятие слишком абстрактное и не поддающееся непосредственному измерению. Оценить прирост §T/T (так называемый остаток Солоу) можно лишь эмпирически на основании уже имеющихся данных за прошедший период о темпах роста выпуска, капитала и трудовых ресурсов. На самом деле, этот остаток будет включать в себя помимо технического прогресса все не учтённые и не поддающиеся непосредственным измерениям факторы, влияющие на объёмы выпуска. Поэтому было бы удобнее (с точки зрения понимания) оценивать влияние на экономический рост не самого технического прогресса как такового, а лишь одного из его следствий – увеличения производительности труда работников (в наших обозначениях параметром, характеризующим качественные изменения производительности труда, будет E). Таким образом, E º T, т.к. введя в рассмотрение производительность труда, мы всего лишь сузили понятие технического прогресса. Может быть, это было и лишним, т.к. в начале этого параграфа мы оговорились, какого рода технический прогресс мы будем рассматривать, но, тем не менее, хуже от этого точно не будет.

Обозначим через g темп прироста производительности труда работника,

§K=§(K/L*T)= (§K*(L*T) -§(L*T)*K)/ (L*T)^2 = §K/LT -(§L*T*K)/(LT)(LT) - (§T*L*K)/(LT)(LT) = (sF(K,LT) - сигма*K)/(LT) -nk -gk=sf(k) - сигма *k -nk-gk