Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-12 | 242 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что .
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.
у
В
А
0 а e b x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.
Т.к. , то , следовательно
Теорема доказана.
3. Вычислить интеграл .
4. Вычислить .
БИЛЕТ № 21.
Каноническое уравнение гиперболы.
Производные параметрически и неявно заданных функций.
1. Производная функции, заданной параметрически.
Пусть
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х). Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].
Т.к. Ф(х) – обратная функция, то . Окончательно получаем:
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
2. Производная неявно заданной функции.
Пусть дана дифференцируемая функция , для которой в некоторой точке выполнено неравенство
Тогда в некоторой окрестности точки уравнение
определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию , заданную вблизи точки в .
Пусть требуется найти её частные производные , . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции
которая тождественно равна 0 в окрестности точки ; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции , переменную , где , получаем по формуле :
(производные равны 0 при , ), то есть откуда или
Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции , не имея задающего её явного выражения.
3. Выполнить действия .
1.
2.
3.
Найти точки разрыва, исследовать их характер и построить график функции
Устранимый разрыв.
Разрыв 1-го рода.
у
0 1 2 х
-1
БИЛЕТ № 22.
1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (без поворотов).
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
1. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
2. - уравнение эллипса.
3. - уравнение “мнимого” эллипса.
4. - уравнение гиперболы.
5. a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
6. y2 = 2px – уравнение параболы.
7. y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
8. y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
9. y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
10. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!