Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница .Применяя обозначение F(b) – F(a) = F(x) , где F(x) – первообразная для f(x), формулу Ньютона-Лейбница запишем в виде

Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при вернем или нижнем пределах интегрирования. Вертикальная черта с верхним и нижним пределами, стоящая справа от символа функции F(x), называется знаком двойной подстановки.

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Возможны следующие случаи:

Фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b] функции f(x) (f(x)≥0), осью Ox, прямыми x = a, x = b, тогда S =

Фигура ограничены графиком непрерывной и неположительной на отрезке [a; b] функции f(x) (f(x)≥0), осью Ox, прямыми x = a, x = b, тогда S =

Фигура ограничена осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком функции f(x), которая непрерывна на отрезке [a; b]и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке (Рис. 5). В этом случае разбивают отрезок [a; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(x) законопостоянна. Искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интеграл входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f(x) на соответствующих отрезках. Площадь фигуры, изображенной на рис. 5, вычисляется по формуле S=

 

3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Билет № 20

1.Основные тригонометрические тождества, формулы приведения, примеры.

Тригонометрическиетождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Основные тригонометрические тождества

sin² α + cos² α = 1

tg α · ctg α = 1

tg α = sin α ÷ cos α

ctg α = cos α ÷ sin α

1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Функция	Аргумент
sin	cos	cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin
cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin	cos	cos
tg	ctg	-ctg	-tg	tg	ctg	-ctg	-tg	tg
ctg	tg	-tg	-ctg	ctg	tg	-tg	-ctg	ctg

Заучивать эти формулы нет нужды. Достаточно помнить следующее:

1) если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;

если же в формуле содержатся углы 90° и 270° (^π/₂ и ^3π/₂), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);

2) чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол φ острым, определить знак выражения, стоящего в левой части формулы.

 

Призма. Объем призмы.

Многогранник составленный из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях и n-параллелограммов (боковых граней) называется призмой. Отрезки боковых граней называются боковыми ребрами призмы. Ребра призмы равны и параллельных.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниями, то призма называется прямой. В противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

S_полн. = S_бок + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок = P·h.

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S·h.

3.Упростить выражение .

 

Билет № 21

1.Тригонометрическое уравнение вида .

Формула для корней уравнения sin(x) = a, где -1≤ а ≤ 1, имеет вид: x = (-1)^k + πk.

 

Цилиндр. Объем цилиндра.

Цилиндром (круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра)совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра, такое сечение называется осевым. Площадь такого сечения равна площади прямоугольника, которая равна

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. Такое сечение называется сечением параллельным основанию.

Объем цилиндра равен числу π умноженному на квадрат радиуса одного из оснований и умноженного на высоту цилиндра.

V = πR²h.

 

3.Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³

 

 

Билет № 22

1.Тригонометрическое уравнение вида .

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где -1≤ а ≤ 1, имеет вид: .

Пирамида. Объем пирамиды.

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) – точку пересечения отрезков (боковых ребер), соединяющих ее с вершинами основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

В зависимости от многоугольника, являющегося основанием, пирамида может быть: треугольной, четырех угольной, пяти угольной, n-угольной.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота проходит через основания. Все боковые ребра правильной пирамида равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Тело, ограниченное сечением, проведенным в пирамиде параллельно основанию, основанием пирамиды, и заключенной между ними боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой.

Объем пирамиды равен площади основания умноженной на высоту.

3.Найти объем пирамиды с высотой h=2м, если ее основанием служит квадрат со стороной 3м.

Билет № 23

1.Тригонометрическое уравнение вида .

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: x = arctg a + πk.

Конус. Объем конуса.

Конусом (круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с т очками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым. Площадью является площадь треугольника, которая равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Основание данного треугольника будет равно диаметру основания конуса.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса и параллельна его основанию, то сечение конуса представляет собой круг и называется сечением, параллельным основанию. Площадь такого сечения равна площади круга.

Для кругового и усеченного конуса имеются разные формулы объема.

Для кругового конуса .

Для усеченного конуса .

. 3.Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили 2 ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Билет № 24

1.Тригонометрическое уравнение вида .

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном а имеет вид x = arcctg a + πn.