Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-10 | 235 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом
Таким образом, по определению,
где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Свойства неопределённого интеграла.
1. ; –производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал–подынтегральному выражению.
2. – неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
3. –неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.
4. , где k = const –постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
1. | 11. | ||
2. | 12. | ||
3. | 13. | ||
4. | 14. | ||
5. | 15. | ||
6. | 16. | ||
7. | 17. | ||
8. | 18. | ||
9. | 19. | ||
10. | 20. |
Формулы замены переменной и интегрирования по частям.
Формула замены переменной.
Интегрирование по частям.
40,41,42,43,44,45)Есть в тетради в лекции «интегрирование функций содержащих выражение ax^2+bx+c.
Интегрирование иррациональных Функций.
|
Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .
Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.
Рациональная функция x под знаком корня n -ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .
Интегрирование Тригонометрических Функций.
1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
4°. Интегралы вида
где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки
при этом
Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом
Определённый интеграл.
Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ]. Разобьем отрезок [ a, b ] на n отрезков точками
x 0 = a < x 1 < … < xk − 1 < xk < … < xn − 1 < xn = b |
и введем обозначения
Δ xk = xk − xk − 1 (k = 1, …, n); λ =
Δ xk. |
На каждом отрезке [ x k − 1, x k ] выберем произвольным образом точку ξk (k = 1, …, n) и составим сумму
f (ξk) · Δ xk, | (5) |
называемую (римановой) интегральной суммой функции f (x) на отрезке [ a, b ].
Если существует конечный предел интегральных сумм (5) при λ → 0, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части, ни от выбора точек ξk, то функция f (x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a, b ], а указанный предел называется (римановым) определенным интегралом от f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается символом
|
f (x) dx. |
Таким образом,
f (x) dx =
f (ξk) · Δ xk. |
Замечание. Данное Риманом определение интеграла оказалось неудачным. Современная терия интегрирования опирается на определение, данное Лебегом. Она гораздо более мощная и простая в применениях, чем теория Ремана.
3. Необходимое условие интегрируемости
Теорема 1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 41.)
Замечание. Ограниченность функции не является достаточным условием ее интегрируемости.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!