История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-10 | 197 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Упражнение. Интерпретировать умножение и деление в тригонометрической форме геометрически.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.
Пусть z = a+bi.
Надо извлечь корень из z.
—?
обозначим через z1, то z = z.
Пусть z1 = x+iy, тогда
(x2–y2)+2xyi = a+bi,
Решив эту систему, мы найдем подходящие значения z1.
Если так действовать и для извлечения корней более высокой степени, то придётся уметь решать уравнения соответствующих степеней.
Для извлечения корня из комплексного числа хорошо приспособлена тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть z = r(cosj+i sinj), надо найти = z1, положим
z1=ρ (cosy+i siny), z ==ρn(cos(ny)+i sin(ny), r = ρn Þ ρ = , j = ny+2pk y = .
Получим
= (cos +i sin ) (1),
где k — любое целое число, то есть корень n–той степени из произвольного комплексного числа z всегда существует и его можно посчитать по формуле (1), причем формула (1) даёт все корни, если k пробегает множество целых чисел (достаточно ограничиться k = 0,…, n–1)
Если возьмем k – любое, то мы можем разделить его с остатком на n:
k = nq+s; 0£s£n–1
.
Углы [2] и [3] отличаются на кратное 2p, и поэтому косинусы и синусы от них совпадают, следовательно формула (1) при угле [2] и при угле [3] даёт одинаковое значение.
Если брать k от 0 до n–1, то мы получим все значения. Нетрудно заметить, что все эти значения разные (смотри геометрическую интерпретацию).
Теорема 4.
Извлечение корня степени n из комплексного числа всегда возможно, и даёт n различных значений, получающихся по формуле (1).
Теорема нами доказана ранее.
Замечание (геометрическая интерпретация).
Все значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на n равных частей:
|
§5. КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ.
1 = cos0+i sin0 = cos +i sin , .
Корни расположены на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на n равных частей.
Теорема 1.
Все значения корня n–той степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них на все корни из 1.
Доказательство:
Возьмём a = = (cos +i sin ), где s–фиксированное число.
e1, e2,…, en – так обозначим все корни .
Домножим каждый из корней e1,…, en на a. Они разные, все являются корнями n–той степени из z, ибо (aei)n = z и их штук.
Теорема доказана.
Теорема 2.
Произведение двух корней n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.
Следствие.
Степень корня n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.
Все ли корни из 1 равноправны?
n=4; 1, –1, i, –i — корни из единицы.
i; –i — первообразные корни; если i возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим все корни.
Определение 1.
Корень n–той степени из 1 называется первообразным, если он не даёт единицу в степени меньше, чем n.
Всегда ли есть первообразный корень?
Всегда! Например: cos +i sin .
Упражнение. Доказать, что корень n–той степени
ek = cos + i sin будет первообразным, если n и k — взаимно простые (не имеют общих делителей отличных от 1).
ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ.
В множествах Q Ì R Ì C возможны четыре операции +, –, ×,:.
Определение 1. Подмножество K Ì C множества комплексных чисел C, состоящее более, чем из одного элемента, называют числовым полем, если выполняются следующие условия:
1) " a, bÎK Þ a+bÎK, то есть в множестве K всегда возможно сложение;
2) " aÎK Þ –aÎK;
3) " a, bÎK Þ abÎK, то есть задано умножение в K (K замкнуто относительно умножения);
4) " a ¹ 0; a -1ÎK.
Из 2) с учётом 1) получаем, что в K всегда возможно вычитание.
Из 4) с учётом 3) получаем, что в K всегда возможно деление на число не равное 0.
Q — поле рациональных чисел;
R — поле вещественных чисел;
C — поле комплексных чисел.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!