Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-10 | 250 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для любого угла справедливо тождество .
Доказательство.
Пусть дан некоторый угол . Тогда координаты конца радиуса тригонометрического круга, составляющего угол с положительным направлением оси , будут равны по определению , (рис.18). Так как квадрат расстояния между любыми двумя точками плоскости, заданными своими координатами, равен сумме квадратов разностей одноимённых координат, то квадрат расстояния от точки до точки (равный единице, поскольку - конец радиуса единичной длины) определяется равенством ,
откуда следует .
Между основными тригонометрическими функциями произвольного аргумента α имеются следующие соотношения.
1. Основное тригонометрическое тождество
.
Доказательство тождества приведено выше.
2. По определению тангенса и котангенса выполнено
, для , ;
, для , .
3. Перемножая последние два соотношения, получим
для , .
4. Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на и и выполнив несложные преобразования, получим соответственно
для , .
Аналогично для , .
23. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
Формулы сложения позволяют выразить , и через тригонометрические функции угла .
Рассмотрим формулы:
Положим в этих формулах равным . Получим:
Полученные формулы: называют формулами двойного угла.
Замечание. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, формулу косинуса двойного угла можно переписать в виде
.
Из формул двойного аргумента легко выводятся формулы половинного аргумента:
,
и
24.
Рассмотрим тригонометрическую окружность. Повернем радиус , равный , около точки на угол и на угол . Получим радиусы и .
Найдем скалярное произведение векторов и
|
Пусть координаты точки равны , координаты точки равны . Эти же координаты имеют соответственно и векторы и .
По определению скалярного произведения векторов:
Выразим скалярное произведение и через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
Подставив значения в правую часть равенства , получим
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов, имеем:
.
Угол BOC между векторами и может быть равен или , либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов.
В любом из этих случаев, так как
Поэтому
Из равенств и следует:
,
Поделив обе части равенства на , получаем
С помощью формулы легко получить следующую формулу
Так как
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Аналогично для (проведите доказательство самостоятельно)
25. Преобразование суммы (разности) в произведение
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций.
Чтобы представить в виде произведения сумму , положим и и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
Решая систему , получаем, что и , таким образом.
Аналогично, можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.
26. Преобразование произведения в сумму.
Произведение ; ; можно представить в виде суммы тригонометрических функций.
Положим и ,
отсюда, решив систему: , получаем, и
Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение:
27. Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
Теорема о корне:
Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке , число – любое из значений, принимаемых функцией на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке .
Теорема об обратной функции:
|
Если функция возрастает (убывает) на промежутке , то она обратима и обратная к ней функция , определённая на множестве значений функции , так же является возрастающей (убывающей).
Арксинус
О. Функция возрастает на и принимает все значения от до , значит по теореме о корне в промежутке уравнение имеет единственный корень.
Это число называется арксинусом числа и обозначается .
Т.е. арксинусом числа называется такое число из промежутка , синус которого равен : .
Так как функция на промежутке строго возрастает, значит, по теореме об обратной функции, она имеет обратную функцию: , переобозначив переменные, получаем
Рассмотрим свойства этой функции:
1. Область определения функции:
.
2. Множество значений функции:
3. Периодичность:
Функция не периодическая, так как она строго возрастает на всей области определения (по теореме об обратной функции)
Чётность/нечётность
Из рисунка 19 видно, что , т.е. функция нечетная
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!