Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана точка Р₀(x₀,y₀,z₀) и γ: A*x+B*y+C*z+D=0, тогда d(Р₀,γ)= .

 

Доказательство:

Возьмем точку Р₁(x₁,y₁,z₁)лежащую в плоскости γ.=> =(x₀-x₁,y₀-y₁,z₀-z₁).

Вектор нормали: (A, B, C).

d=

, A*x₁ + B*y₁ + C*z₁= -D

=> d(Р₀,γ)= .

 

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

γ₁: A₁*x+B₁*y+C₁*z+D₁=0

γ₂: A₂*x+B₂*y+C₂*z+D₂=0

 

1) Пересекаются:

вектора и не коллениарны, то есть: ≠k* => =>

2) Параллельны:

 

3) Совпадают:

 

 

Уравнения прямых в пространстве.

1) Общее уравнение прямой в пространстве:

L:

 

2) Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

L:

 

3) Каноническое уравнение прямой в пространстве

L:

a, b, c - координаты направляющего вектора.

 

Взаимное расположение прямых в пространстве.

L₁:

L₂:

 

1) совпадают:

//

,

 

2) параллельны:

,

 

3) Пересекаются:

Пусть точка Р₁(x₁,y₁,z₁) лежит на прямой L₁, а точка Р₂(x₂,y₂,z₂) лежит на прямой L₂.

Вектор не коллениарен вектору , .

< >=0=

 

4) Скрещиваются

Пусть точка Р₁(x₁,y₁,z₁) лежит на прямой L₁, а точка Р₂(x₂,y₂,z₂) лежит на прямой L₂.

Вектор не коллениарен вектору , .

< >≠0≠

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть есть точка Р(x₀,y₀,z₀) и прямя L: , тогда расстояние от точки до прямой d(P, L)=

 

Доказательство:

Построим параллелограмм на направляющем векторе прямой L – векторе (a,b,c) и векторе , где точка Р₁ – с прямой L.

Площадь этого параллелограмма равняется: S=d*| | =>

d=

 

Углом между двумя прямыми называется угол между направляющими векторами этих прямых(поскольку вектора определены не однозначно, то угол тоже определен не однозначно).

 

Угол между двумя плоскостями – угол между их нормалями.

 

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ортогональной проекцией прямой на плоскость.

 

Пусть дана прямая L: и плоскость γ: A*x+B*y+C*z+D=0, тогда между γ и L равен α, тогда sin(α)=

 

Доказательство:

j=

1) вектора и “смотрят” в одно полупространство.

j=90-α

>0 в первом случае, cos(j)=cos(90-α)

 

2) вектора и “смотрят” в разные полупространства

j=π/2+α

=> , <0=> sin(α)≥0

sin(α)=

 

 

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве.

Пусть L₁: , L₂: , тогда d(L₁, L₂)=

Доказательство:

h – длинна высоты параллепипеда построенного на векторах , , , где Р₁Р₂ – точки лежащие соответственно на прямых L₁ и L₂.

AQ┴EFGH, AQ┴ L₁,L₂.

h=

V=|< , , >|, S=|[ , ]| h=

 

Расстояние между двумя параллельными прямыми находится с помощью формулы расстояния от точки до прямой.

 

Построение общего перпендикуляра для двух пересекающихся прямых.

Пусть L₁: , L₂: ,L₃┴ L_1,L₂.

=[ , ]

Зададим плоскости α и β:

α: P_1, , , β: P_2, , .

Плоскости α и β будут пересекаться т.к прямые скрещивались. Пусть они пересекаются по прямой k.

L//α, β => L//k=> //k, L

Вектор параллелен прямой k, то есть вектор является направляющим вектором этой прямой

=> k┴ L₁,L₂.

По построению прямая k пересекается с прямыми L₁ и L₂ =>k – это и есть искомая прямая L_3.

α:

β:

(A₁, B₁, C₁)=[ , ]

(A₂, B₂, C₂)=[ , ]

L₃:

 

 

Кривые второго порядка.

Эллипс

Пусть в плоскости фиксированы точки F₁ и F₂, эллипсом называется геометрическое место точек, таких, что сумма расстояний от них до F₁ и F₂, называемыми фокусами эллипса, есть постоянная величина, обозначаемая через a*2.

Каноническая система координат эллипса.

· Проведем прямую через фокусы эллипса F₁ и F₂.(Ox)

· Ориентируем прямую от F₁ к F₂.

· Середину F₁F₂ обозначим через О.

· Проведем прямую Oy перпендикулярную Ox.

· Ориентируем прямую так, чтобы система была положительно ориентированна.

 

Точки пересечения с осями координат – вершины эллипса

Расстояние от фокуса до центра обозначим через с.

АF₁ + АF₂ =2*а => c + АF₂ =а => AF₂ =а-c

OA=а – большая полуось эллипса

Рассмотрим треугольник F₁F₂В – равнобедренный

F₁В + F₂В=2*а => F₁В=F₂В=а

, OB=b – длинна малой полуоси ()

 

Эксцентриситетом эллипса называется число . При е=0 это окружность, а при е=1 это прямая.

Директрисами эллипса называется прямые имеющие уравнения

 

 

Уравнение эллипса.

Эллипс в канонической системе координат имеет уравнение - каноническое уравнение.

Доказательство:

1) Докажем, что любая точка эллипса удовлетворяет каноническому уравнению.

Возьмем точку Р(x, y).

d(P,F₁)= , d(P,F₂)=

Так как у нас эллипс, то он удовлетворяет условия: d(P,F₁)+ d(P,F₂)=2*а

+ =2*а => =2*а -

,

2) (наоборот) Пусть P(x, y) является решением уравнения , то есть принадлежит эллипсу.

d(P,F₁)= , d(P,F₂)=

 

=>

d(P,F₂)= = =

=

 

= = = =|e*x+a|

Для d(P,F₁) аналогично. d(P,F₁)= |e*x-a|

0≤e≤1 -a≤x≤a

|ex|≤a=> ex+a≥0 => d(P,F₂)= ex+a

|ex|≤a=> ex-a≤0 => d(P,F₁)= -ex+a=a-ex

d(P,F₁)+ d(P,F₂)=e*x + a - e*x + a=2*а

 

Симметрия эллипса

1. Эллипс симметричен относительно оси оХ.

2. Эллипс симметричен относительно оси оY.

3. Эллипс симметричен относительно центра координат.

 

 

Пусть эллипс задан каноническим уравнением, точка P(α, β) принадлежит эллипсу. Тогда касательная в точке Р имеет вид:

 

Оптическое свойство эллипса.

Если из одного фокуса эллипса выпустить луч света, то отразившись от эллипса луч попадет в другой фокус.

 

Гипербола.

 

Пусть в плоскости даны точки F₁ и F₂, которые называются фокусами, гиперболой называется геометрическое место точек, таких что модуль разности расстояний от точки до фокусов, есть постоянная величина, обозначаемая через 2*а.

Каноническая система координат гиперболы.

· Проведем прямую через фокусы эллипса F₁ и F₂.(Ox)

· Ориентируем прямую от F₁ к F₂.

· Середину F₁F₂ обозначим через О.

· Проведем прямую оY перпендикулярную Ox.

· Ориентируем прямую так, чтобы система была положительно ориентированна.

 

F₁F₂=2*с=> OF₁=c

Точки пересечения с осями

OF₁=|F₁A-F₂A|=2*a F₁A-F₂A=2*a

F₁A=c+OA, F₂A=c-OA =>2*OA=2*a => OA=a

Расстояние от центра до вершины равно а(как и для эллипса, но a<c)

Введем b:

Эксцентриситетом гиперболы называется число e, определенное как , 1<e<∞

Полученный прямоугольник называется основанием прямоугольной гиперболы.

Прямые, лежащие на диагоналях основного прямоугольника асимптоты гиперболы.

Директрисами гиперболы называются прямые с уравнениями .

 

Каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола в канонической для нее системе координат имеет уравнение:

Доказательство:

1)Докажем, что любая точка параболы удовлетворяет каноническому уравнению параболы

 

Пусть точка P(x,y) принадлежит параболе. F₁(-с,0) F₂(с,0).

по определению гиперболы: |r₁-r₂|=2a

=±2a-

=4a²±2 +

, =>

 

2) Теперь докажем наоборот: пусть P(x, y) является решением уравнения , то есть принадлежит гиперболе.

d(P,F₁)= , d(P,F₂)=

 

=>

d(P,F₂)= = =

=

 

= = = =|ex+a|

Для d(P,F₁) аналогично. d(P,F₁)= |ex-a|

e>1=>

Рассмотрим два случая:

x≤-a

xe-a≤0 -(xe+a)

xe+a≤0 -(ex-a) =>|r₁-r₂|=2a

x≥a

xe-a≥0 (xe+a)

xe+a≥0 (ex-a) =>|r₁-r₂|=2a

 

=>|r₁-r₂|=2a => Точка Р принадлежит гиперболе Р.

 

Симметрия гиперболы.

1. Относительно оси Ох.

2. Относительно оси Oy.

3. Относительно центра системы координат.

 

Касательная.

Пусть задана парабола и точка Р(α,β), тогда уравнение касательно в точке Р:

Оптическое свойство гиперболы.

Если из одного из фокусов гиперболы выпустить луч света, то после отражения от гиперболы, луч пойдет по прямой, проходящей через второй фокус.

 

Парабола.

Пусть дана прямая L, называемая директрисой, и точка F, называемая фокусом, параболой называется геометрическое место точек таких, что расстояние от прямой L до точки F равно расстоянию от точки до фокуса.

 

Каноническая система параболы.

1. Через точку F проведем прямую перпендикулярную L

2. Ориентируем её от L к F.

3. Отметим точку О – середину отрезка LF.

 

d

 

Каноническое уравнение параболы.

В канонической системе координат парабола имеет уравнение .

 

Доказательство:

1) Вначале докажем, что для любая точка принадлежащая параболе удовлетворяет этому уравнению

Пусть дана точка P(x,y) принадлежащая параболе.

r= , d= = , r=d

=>

 

2) Теперь докажем, что, если точка P(x,y) удовлетворяет каноническому уравнению параболу, то она принадлежит параболе.

Дано: r= , , d=

Доказать r=d

 

r= , => r= = = =

= = , r≥0 => r=

 

Парабола симметрична относительно оси ОХ.

Эксцентриситет параболы по определению равен еденице.

 

Оптическое свойство параболы.

Если из фокуса параболы выпустить световые лучи, тогда отразившись от параболы они образуют пучок лучей параллельных оси ОХ.