Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-21 | 381 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Скалярное произведение двух векторов
Углом между ненулевыми векторами и называется угол между лучами и , сонаправленными с векторами и соответственно и исходящими из одной точки О (рис. 10).
О |
А |
В |
Рис. 10 |
Два ненулевых вектора и называются взаимно перпендикулярными (ортогональными), если .
Обозначение: .
Если хотя бы один из векторов нулевой, то считают, что .
Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Угол между двумя векторами и находится в следующих пределах:
.
Понятие угла между векторами используется при определении понятия скалярного произведения.
Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение: или .
.
Скалярным квадратом вектора называется число, равное скалярному произведению . Обозначение: 2.
Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над векторами.
Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.
Геометрические свойства
Скалярного умножения векторов
Г10. .
□ Пусть , тогда
или ;
или ;
или .
Обратно, пусть , тогда . ■
Г20. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .
□ .■
Из этого свойства получаем важное следствие:
.
Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора на направление, определяемое вектором .
Пусть даны два вектора , ÎV.
|
Возьмем в пространстве произвольную точку А и отложим от нее вектор , т.е. (рис. 11).
А |
В |
А1 |
В1 |
s |
Рис. 11 |
Возьмем прямую s|| и зададим на ней направление вектором (такая направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точку А плоскость , через точку В – плоскость . Пусть , .
Проекцией (скалярной) вектора на направление, определяемое вектором , называется число, равное
, если ;
, если .
Обозначение: .
Г30. .
Алгебраические свойства
Скалярного умножения векторов
А10. .
А20. ; .
А30. .
Следствие. . Это свойство можно распространить и на большее число слагаемых.
Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе , , то
.
□ По определению координат вектора , . Используя свойства Г10,Г20, А10-А30 и то, что , , и , получаем:
. ■
Следствие 1. .
Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).
.
Следствие 3. .
Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.
Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.
Приложение скалярного произведения
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!