Широкополосные сигналы, свойства, типы,

В. Ф. Попов

«МЕТОДЫ И УСТРОЙСТВА ФОРМИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ»

 

Учебное пособие

 

Омск

Издательство ОмГТУ

 

УДК 621.396(075)

ББК 32.811я73

П58

Рецензенты:

В.И.Сединин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «САПР»

Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики;

 

В.А. Алгазин, к. ф.- м. наук, доцент, зам. Директора ОФИМ СОРАН по информатизации

 

Попов В.Ф.

П58 Методы и устройства формирования и обработки широкополосных сигналов: учеб. пособие /В.Ф.Попов. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011, - 116 с.

 

ISBN978-5-8149-0817-9

 

В учебном пособии излагаются основные теоретические положения формирования, оценки качества и обработки ФМ и частотно-дискретных широкополосных сигналов (ШПС) на основе линейных и нелинейных псевдослучайных последовательностей (ПСП). Эти положения необходимы для решения задач синтеза и анализа современных и перспективных помехозащищенных широкополосных систем радиолокации или связи с кодовым разделением абонентов и большим объемом ансамбля ШПС, которые реализуются методами прямого расширения спектра сигнала, псевдослучайной перестройки рабочей частоты (ППРЧ).

Пособие содержит примеры решения задач и перечень задач для самостоятельной работы студентов.

Пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 210402 «Средства связи с подвижными объектами» и 210302 «Радиотехника», магистров направлений «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Телекоммуникация» и «Радиотехника», а также может быть полезным радиоинженерам и студентам других специальностей.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

 

УДК 621.396(075)

ББК 32.811я73

ISBN978-5-8149-0817-9 ГОУ ВПО «Омский государственный

Технический университет», 2011

Введение

Решение задач статистического синтеза и анализа устройств формирования, приема и обработки широкополосных шумоподобных сигналов (ШПС) широкополосных систем связи (ШСС) и радиолокации требует от студентов достаточно высокой математической подготовки и встречает определенные затруднения.

Целью издания учебного пособия является ознакомление студентов с современными достижениями отечественных и зарубежных ученых по синтезу ШПС и систем ШПС на основе линейных и нелинейных псевдослучайных последовательностей (ПСП) и выработка у студентов навыков по синтезу и анализу качества ШПС, ШСС в целом и ее элементов.

В пособии изложены основные свойства, типы ШПС, методы построения ШСС, свойства и методы формирования и обработки линейных и нелинейных фазоманипулированных (ФМ) ШПС, дискретно частотных сигналов (ДЧС). Кроме того дана оценка помехоустойчивости асинхронно-адресной ШСС с кодовым разделением абонентов при различных видах помех, рассмотрены методы реализации поиска и синхронизации ШПС и приведены оценки временных затрат поиска и синхронизации.

В приложении приведены примеры синтеза согласованных фильтров (СФ) ШПС, а также периодически повторяющихся сигналов с накоплением в рециркуляторе. Даны теоретические сведения, рекомендации для решения задач и перечень задач, которые предназначены для домашних заданий, а также для использования при выполнении курсовых работ и проектов по следующим разделам курса:

1. Синтез производных систем ФМ, ДЧ ШПС с большим ансамблем сигналов.

2. ШСС с прямым расширением спектра, псевдослучайной перестройкой частоты (ППРЧ) и помехоустойчивым кодированием.

При подготовке пособия использованы материалы монографий, книг известных ученых в области теории связи и радиолокации: Л.Е. Варакина, Дж. Прокиса и др., а также материалы статей Ю.В. Гуляева, В.Я. Кислова и др., опубликованных в периодической литературе по данной тематике, в том числе и работы автора учебного пособия.

 

 

ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СИГНАЛЫ, СВОЙСТВА, ТИПЫ,

Свойства ШПС

 

Широкополосные сигналы позволяют:

- 1). Обеспечить высокую помехозащищенность ШСС, определяемую помехоустойчивостью, энергетической и структурной скрытностью ШПС. При корреляционном приеме ШПС или приеме на согласованный фильтр (СФ) увеличение выходного отношения сигнал/шум (ОСШ)

(1.3)

относительно входного h_вх²=Р_с/Р_П равно 2В.

При больших В можно обеспечить высокую помехоустойчивость при h_вх² <<1 (в отличие от пороговой ЧМ) и энергетическую скрытность, т. к. время обнаружения ШПС при априорной неопределенности наличия сигнала пропорционально полосе ШПС

T_обн ≈ а∙F, (1.4)

где а - const, зависящая от параметров приемника радиоразведки;

-2). Организовать одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот асинхронно-адресной системы связи (ААСС) с кодовым разделением абонентов (СDМА), за счет большого объема L системы ШПС, определенной единым правилом построения. Для малых систем L < В, нормальных L = В, а для больших L >> В число сигналов в системеравно:

, (1.5)

где с, n – const и n >1.

Кроме того смена ШПС из ансамбля L в сеансе связи обеспечивает структурную (параметрическую) скрытность ШСС.

Сигналы, входящие в систему, должны обеспечивать минимум взаимных помех, определяемый уровнем максимальных пиков взаимокорреляционной функции (ВКФ) R_ij сигналов i и j

, (1.6)

где α -пик-фактор ВКФ; чем меньше α, тем лучше ВКФ;

- 3). Бороться с многолучевостью сигнала разделением лучей. Минимальная задержка между разделяемыми лучами определена полосой F ШПС:

(1.7)

где τ₀ – ширина АКФ R (τ) ШПС;

- 4). Обеспечить совместимость передачи информации с измерением параметров расстояния и скорости движения объекта в системах подвижной связи. Среднеквадратическая погрешность измерения:

- расстояния (по задержке сигнала) равна

; (1.8)

-скорости (по доплеровскому смещению частоты) равна

, (1.9)

т.е. зависят от составляющих базы ШПС, изменяемых независимо;

- 5). Обеспечить электромагнитную совместимость ШСС с узкополосными системами связи (УПС). Помехоустойчивость ШПС при УПС помехи равна (1.3), где h_вх²=Р_ШПС/Р_У, а усиление обработки В.

Мощность ШПС помехи на выходе приемника УПС равна (Р_ШПС/F)· F_У ипомехоустойчивость УПС равна также (1.3), где h_вх²=Р_У/Р_ШПС и В=F/F_{У .}

 

1.2. Основные типы ШПС

Различают: Частотно-модулированные (ЧМ) сигналы; Многочастотные (МЧ) сигналы; фазоманипулированные (ФМ) сигналы, в том числе сигналы с кодовой фазовой манипуляцией (КФМ сигналы); дискретные частотные сигналы (ДЧС), в том числе сигналы с кодовой частотной модуляцией (КЧМ) и дискретные составные частотные (ДСЧ) сигналы (составные сигналы с кодовой частотной модуляцией – СКЧМ сигналы). Иногда ФМ сигналы называют ШПС, а ДЧ сигналы - сигналами с “прыгающей частотой”.

Частотно-модулированные (ЧМ) сигналы. Частота сигнала

меняется по заданному закону Рис.1.1.

 

Рис. 1.1. ЧМ сигнал с модуляцией по V – закону на интервале 2Т, состоящий из

двух сигналов с линейной ЧМ (ЛЧМ): , где

мгновенная частота , знак «-» для эпюры 1, а знак «+» для эпюры2; а -скорость изменения ЛЧМ; -девиация частоты.

 

На рисунке представлена частотно-временная (f, t) – плоскость, на которой штриховкой приближенно изображено распределение энергии ЧМ сигналов по частоте и по времени. База ЧМ сигналов равна

 

, (1.10)

 

где - девиация частоты. Такие сигналы используются в радиолокации, связи с приемом СФ на ПАВ.

Многочастотные (МЧ) сигналы являются суммой N гармонических сигналов u₁(t), … u_k(t)..u_N(t), амплитуды и фазы которых определяются в соответствии с законами модуляции сигнала, например, сигналы ОFDM.

На частотно-временной плоскости Рис.1.2 штриховкой выделено распределение энергии одного элемента МЧ сигнала на частоте f_k. Все элементы полностью перекрывают квадрат со сторонами F и T. База сигнала B равна площади квадрата. Ширина спектра элемента .

f

 

 

F₀ f_k

 

f₀

 

 

F

Т

0 t

Рис. 1.2. МЧ сигнал на частотно-временной плоскости.

 

Поэтому база МЧ сигнала:

(1.11)

совпадает с числом гармонических сигналов и для большой базы B требуется большое число частотных каналов N. Однако, для уменьшения влияния многолучевости весьма эффективны сигналы ОFDM с Т>> , занимающие по величине B промежуточное положение между ШПС и УПС. Недостатком МЧ сигналов является большой пик – фактор.

Фазоманипулированные (ФМ) сигналы представляют последовательность радиоимпульсов, фазы которых изменяются по заданному закону (рис.1.3а)

 

Рис.1.3. Фазоманипулированные (ФМ) сигналы.

Модулированный по амплитуде и фазе радиосигнал можно записать в общем виде

(1.12)

где медленно меняющиеся по закону модулирующего сигнала:

- A(t) огибающая АМ сигнала (рис.10.3.б)

, (1.13)

где - преобразование Гильбертаот u(t);

- Ө(t) фаза ФМ сигнала рис.1.3. в (принимает обычно значения 0 или ).

Сигнал (1.12) является реальной частью комплексного сигнала

 

(1.14)

 

где комплексная огибающая сигнала равна

 

(1.15)

а модуль - огибающая (1.13) сигнала u(t).

Огибающая U(t) ФМ сигнала при значениях и A(t) =1 является действительной функцией времени (мнимая синусная составляющая равна нулю) и принимает значения +1 и -1 (рис.1.3 г). В общем случае огибающая U(t) является комплексной, например, для многофазных или КАМ сигналов, но всегда является НЧ видеосигналом.

Таким образом, ФМ радиочастотному сигналу (1.12) соответствует видео ФМ сигнал U(t), состоящий из положительных и отрицательных импульсов (рис.1.4) с симметричным спектром относительно .

U(t) 1 2...... N

 

T

t

 

f

 

F≈2/

=0

 

 

 

0 t

Рис. 1.4. Фазоманипулированный видеосигнал и ЧВП.

Если число импульсов N, то длительность одного импульса , а ширина его спектра равна приближенно ширине спектра сигнала . На частотно-временной плоскости (ЧВП) штриховкой выделено распределение энергии одного элемента (импульса) ФМ сигнала.

Все элементы перекрывают выделенный квадрат со сторонами F и T. База сигнала равна:

, (1.16)

 

т. е. числу импульсов в сигнале.

Применение ФМ сигналов в качестве ШПС с прямым расширением спектра и базой B=10⁴...10⁶ ограничено в основном аппаратурой обработки и точностью синхронизации. При использовании СФ на ПАВ возможен оптимальный прием ФМ сигналов с максимальной базой B_max=1000…2000. ФМ сигналы, обрабатываемые такими фильтрами, имеют спектр 10...20 МГц и относительно малую длительность 50..100 мкс.

СФ на приборах с зарядовой связью (ПЗС) позволяют обрабатывать сигналы с базой 10²...10³ при длительностях сигналов 10^-4…10^-1с. Цифровой коррелятор на ПЗС позволяет обрабатывать сигналы с базой не более . При формировании и приеме ФМ ШПС широко используют цифровые методы обработки.

Дискретные частотные сигналы (ДЧС)представляют последовательность радиоимпульсов, несущие частоты которых изменяются по заданному закону. Если число импульсов в ДЧ сигнале равно M, то длительность импульса , а ширина его спектра . Энергия этих сигналов распределена не равномерно на ЧВП. База ДЧ сигналов

 

, (1.17)

 

т.к. база импульса .

Достоинство ДЧ сигналов перед МЧ сигналами состоит в том, что для получения необходимой базы значение значительно меньше. Однако, более эффективны ДСЧ сигналы.

Дискретные составные частотные сигналы (ДСЧ) являются ДЧ сигналами, у которых каждый импульс заменен псевдослучайным ШПС. На рис. 1.5а изображен видео ФМ сигнал, отдельные части которого передаются на различных несущих частотах. На рис. 1.5б штриховкой выделено распределение энергии ДСЧ сигнала.

 

U(t)

t

 

f₂ f₃ f₇ f₁ f₅ f₆ f₄ а)

f

 

f₀+F/2

f₇

f₆

f₅

 

f₄

f₃ б)

F₀

f₂

f₁

f₀ -F/2

0

Т t

T₀

Рис. 1.5. ДСЧ-ФМ сигнал. (Составной сигнал с кодовой ЧМ и ФМ (СКЧМ-ФМ)).

 

Площадь - равна числу импульсов ФМ сигнала в одном частотном элементе ДСЧ сигнала. База ДСЧ сигнала

. (1.18)

При этом число импульсов полного (на интервале Т) ФМ сигнала равно

.

Такой сигнал называют ДСЧ-ФМ сигналом. Известны ДСЧ-ЧМ сигналы на основе кодовой ЧМ и частотной манипуляции (ДЧС вместо ФМ ШПС).

 

Методы построения ШСС.

ШПС являются псевдослучайными сигналами со свойствами случайного шума и могут формироваться по детерминированным законам.

Форма и свойства ШПС определяется модулирующей псевдослучайной двоичной последовательностью (ПСП) с элементами 0 и 1, которая преобразуется в бинарную ПСП с элементами +1 и -1 согласно:

(1.19)

где b_k, k =0,1,2..(N -1) - символы ПСП, принимающие значение 0 или 1;

a_k =(2 b_k -1) – коэффициенты ПСП, принимающие значение +1 или -1;

q(t) - функция, определяющая форму элементарного символа длительностью τ ₀ псевдослучайного сигнала U(t).

В ШСС с ШПС ширина спектра огибающей модулированного радиосигнала не определяется (в отличие от УПС) скоростью передачи информации, а определяется шириной спектра ПСП.

Прямое расширение спектра (ПРС) в ШСС с ФМ-2 реализуют модуляцией информационного сигнала U_инф.(t) БВНс амплитудами ±1 сигналом БВН U(t) ПСП (1.19), т.е. перемножением. Сигнал БВН этого произведения U _прс (t) = U_инф.(t)U(t) с амплитудами ±1 является модулирующим сигналом ФМ-2 ШПС с ПРС и является огибающей радиосигнала ФМ-2 ШПС с ПРС, который можно записать в виде:

. (1.20)

Структурная схема ШСС ФМ-2 ШПС с ПРС дана на рис.1.6.

Рис. 1.6. ШСС с ПРС ФМ-2 ШПС (база В = ): С- синхронизатор,

СМ- смеситель, У - усилитель, РУ- решающее устройство, СЧ- синтезатор частот.

 

При расширении спектра радиосигнала скачками по частоте (СЧ) частота несущего колебания изменяется дискретно во времени (ДЧС), принимая конечное число разных значений. Последовательность её значений можно рассматривать как ПСП, которая формируется в соответствии с некоторым кодом. Структурная схема ШСС с СЧ представлена на рис.1.7, а база ДЧС сигнала определена выражением (1.17).

ШСС с ДСЧ-ФМ сигналом (рис. 1.5) можно построить комбинацией формирователей ФМ ШПС (рис. 1.6.) и ДЧС ШПС (рис.1.7.): первоначально формируется ФМ-2 ШПС, а затем ДЧС ШПС. Другие варианты реализации ШСС с ПРС и СЧ рассмотрены в работах [2, 19].

Сигналы

Максимальные уровни боковых пиков апериодических АКФ ПСП конечной длительности можно уменьшить, применяя многофазные сигналы и амплитудно-фазоманипулированные сигналы.

Многофазные сигналы можно построить дискретизацией аналоговых сигналов с ЧМ, например, линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ). На рис.2.8, изображена зависимость фазы θ от t огибающей сигнала с ЛЧМ (рис.1.1) в форме записи (1.15).

Рис.2.8. Зависимость фазы θ огибающей сигнала с ЛЧМ

, где .

 

ЛЧМ сигнал длительностью Т можно представить в виде последовательности N радиоимпульсов с мгновенной частотой, линейно изменяющейся в течение импульса Значения линейно-ломанной аппроксимирующей дискретной функции совпадают с непрерывной θ(t) в точках, кратных τ₀, т.е. θ_n=θ (n τ₀), n = 0,1,… N -1.

Если в качестве начальных фаз многофазного сигнала ЧМ взять

θ_фn=(θ_n+θ_n+1)/ 2, то начальные фазы n -го импульса многофазного сигнала, соответствующего аналоговому сигналу ЛЧМ, равны:

θ_фn=(n²+n) π/N. (2.41)

Меняя β (т.е. θ_фn) получим систему многофазных сигналов.

Модуль АКФ такого многофазного сигнала равен

. (2.42)

В качестве аналогового сигнала можно взять также сигнал с квадратичной частотой модуляцией (КЧМ). Известно, что модули АКФ этих аналоговых и соответствующих многофазных сигналов близки, а боковые пики

Амплитудно-фазоманипулированные (АФМ) сигналы. Можно показать [1], на основании (2.8), что идеальной АКФ ФМ ПСП без боковых пиков соответствует бесконечная ПСП. Реальные конечные ПСП, уменьшающие боковые пики АКФ ПСП символов a_n, n =0,1… N, можно построить, уменьшая амплитуды крайних оставленных и отброшенных символов бесконечной ПСП, отсчитываемых от середины ПСП. При этом известно, что лучшим АФМ сигналом является ПСП символов рис.2.9а с квадратичным фазовым спектром Ψ(ω) (2.7) КП и огибающей (1.13) с косинусной формой, т. е. пик - фактором .

Если произвести двоичное квантование (клипирование) по уровню АФМ сигнала (рис.2.9а), т.е. получить (рис.2.9б), то получим ФМ сигнал, АКФ которого будет обладать большими, но все же достаточно малыми боковыми пиками.

Рис.2.9. АФМ сигнал (а), ФМ сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (в).

 

Например, АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром при N=37 имеет максимальный боковой пик АКФ 1,5%. При этом максимальный боковой пик АКФ ФМ сигнала (рис.2.9в) равен 5/37=0.135, что несколько меньше Можно показать, что среднеквадратичное значение боковых пиков АКФ таких ФМ сигналов (при оптимальном выборе их параметров) равно т.е. такие сигналы можно отнести к оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.

Минимаксными ФМ сигналами называют сигналы, у которых максимальные боковые пики АКФ минимальны.

 

2.4.3.Cистемы ФМ сигналов

 

Ранее отмечалось, что для помехозащищенных ШСС требуется большой объем L (1.5) нормальных и больших систем ФМ ШПС.

К такому объему можно приблизиться, реализуя системы сигналов на основе, например, систем Уолша или производные системы [1] ФМ сигналов на основе М-последовательностей.

Система сигналов Уолша. Многие системы ФМ сигналов образованы на базе систем сигналов Уолша, построенных на основе матрицы Адамара

, (2.43)

где H_N - матрица Адамара порядка N, а H_2N - порядка 2N.

Полагая H₁=1 из (2.43) можно получить матрицы порядка 2

или 4,8…2 ^т, где т -целое число. Например, порядка 8

(2.43')

 

В качестве КП системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число этих КП (объём системы) равно порядку матрицы N.

Обозначим j-ю кодовую последовательность Уолша в (2.43') как {W_j}, , а её п -ый символ через W_j(п). На основании уравнения ортогональности матриц Адамара , где в обычном произведении матриц Т - знак транспонирования, а I- единичная матрица, можно записать уравнение ортогональности ПСП Уолша

. (2.44)

На рис.2.10 приведены ПСП системы Уолша согласно матрице Н₈, которые упорядочены по числу блоков μ в последовательности.

Рис.2.10. Система сигналов Уолша.

Отметим, что число блоков μ в различных последовательностях изменяется от 1 до N, и плохо согласуется с блоковой структурой кода СП (2.23), (2.27). Поэтому система сигналов Уолша обладает плохими корреляционными свойствами, т.е. АКФ и ВКФ имеют большие боковые пики.

При этом спектр (2.6) кодовой ПСП Уолша с μ=1 имеет максимум (рис.2.1) при ω = 0, а с μ = N имеет максимум при ω = π/τ₀ и оба максимума равны N. Соответственно максимум СПМ равен N². У остальных ПСП максимумы лежат между ω = 0 и ω = π/τ₀.

На базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов.

Производным сигналом называют сигнал, образованный посимвольным произведением двух или более исходного и производящего сигналов, которые могут быть узкополосными и широкополосными.

К таким системам можно отнести:

- сегментные cистемы, реализуемые путем выделения перекрывающихся или не перекрывающихся сегментов (отрезков) из ПСП на основе М-последовательности большой длины N;

- циклические системы Голда, Касами.

Выбор производящего сигнала зависит от исходного сигнала. Если исходный сигнал U широкополосный, то производящий V тоже широкополосный с малыми уровнями боковых пиков ФН. Если исходный сигнал узкополосный, то для производящего сигнала достаточно многократное превышение полосы исходного сигнала и малый уровень боковых пиков АКФ.

Производные сегментные системы сигналов. Обозначим комплексную огибающую (1.15) исходной М-последовательности U(t), где

0 ≤ t ≤T, а модуль огибающей (1.13) производящего сигнала V(t) =1, 0 ≤ t ≤ T₀, гдеT₀ < T. В этом случае выделение сегмента из ПСП эквивалентно применению узкополосного производящего сигнала с прямоугольной огибающей и длительностью, равной длительности сегмента T₀.

Производный сигнал

S_p(t)=U(t+t_p)∙V(t) (2.45)

называют р -м сегментом, расположенным на отрезке [0, T₀ ], который вырезается из исходного сигнала (ПСП) на отрезке [ t_p, t_p+T₀ ]. Последовательность сегментов образует систему сигналов

с объемом системы при примыкающих сегментах и длительностью сегмента .

ВКФ сегментов и максимальные боковые пики ВКФ сегментов равны:

:

. (2.46)

При проектировании системы сигналов задается эффективное значение ВКФ При заданном Q и известном, например, N ПСП из (2.46) определяют длительность сегмента и объем системы .

Производный сигнал может формироваться и при перекрывающихся сегментах.

Производные циклические системысигналов. Пусть для циклических систем даны две кодовые ПСП {А(ν)}, {В(ν)}, где ν- номер символа в ПСП, а символы А(ν), В(ν) принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной р -ичной группе.

Если р >2, то будем называть сигнал многофазным. Этим ПСП можно поставить в однозначное соответствие цифровые кодовые ПСП {а(ν)}, {b(ν)}, символы которых а(ν), b(ν) принадлежат аддитивным р -ичным группам.

При р =2 символами ПСП {А(ν)}, {В(ν)} являются 1 и -1, а символами цифровых ПСП являются 0 и 1.

Формирование КФ (2.18) сводится к перемножению символов А(ν) и В*(ν) с последующим суммированием, где *-знак комплексной сопряженности.

При переходе к символам а(ν), b(ν) КФ определяется через разности этих символов по mod p на основе сравнения (Примечание стр.23)

, т.е. . (2.47)

Для циклических систем ФМ сигналов ПСП {а(ν)}, {b(ν)} должны обладать следующим циклическим свойством: разность по mod p ПСП {а(ν)} и её циклической перестановкой {а(ν+μ)} является другой циклической перестановкой {а(ν+λ)} исходной ПСП, т.е.

{а(ν)} - {а(ν+μ)}= {а(ν+λ)}, (2.48)

где λ≠0 и λ≠μ(mod p). Аналогично:

{ b(ν)}- {b(ν+μ)}= {b(ν+λ)}.

Равенства (2.48) выполняются для М-последовательностей согласно их аддитивно-циклическим свойствам.

Пример. Циклические перестановки получаются так: исходная ПСП {а(ν)} записывается в виде периодической бесконечной ПСП:

… a(N-2),a(N-1), a(0), a(1),…a( ν),… a(μ),… a(N-2), a(N-1 ), a(0), a(1),a(μ),..

Т.е. она начинается с символа a(0) и заканчивается символом a(N-1). Циклическая перестановка {а(ν+μ)} начинается с символа a(μ) при ν=0 и заканчивается при ν = N-1символом a(μ +N-1).

Циклическая система сигналов состоит из последовательностей {С_j(ν)}, символы которых определяются равенством

C_j(ν)=a(ν)-b(ν+j), (2.49)

где

Каждая ПСП циклической системы равна разности между ПСП {а(ν)} и ПСП циклической перестановки {b(ν+j)}, т.е.

{C_j(ν)}={a(ν)-b(ν+j)} (2.50)

Такие циклические системы являются производными, где система последовательностей {b(ν+j)} является исходной, а ПСП

{а(ν)} - производящей.

Известно, что ВКФ сигналов циклической системы определяются периодическими ВКФ, ВФН образующих последовательностей. Поэтому для построения циклической системы минимаксных сигналов (R_max→min) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов имели малые боковые пики (R_max(λ)→min). Общего метода построений таких сигналов нет.

Циклические системы Голда. По методу Голда образующим двоичным (p=2) М-последовательностям длины N=2ⁿ-1 должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются α^-ν для первой и (α^2l+1)^{- ν} для второй последовательностей, где l -любое целое число, взаимно-простое с п.

Примитивным называют неприводимый (не может быть представлен в виде произведения) многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля Галуа GF(2ⁿ).

Корень α называется примитивным, если все его степени (α⁰, α¹,..α^N= α₀) дают различные элементы поля.

Такие образующие ПСП выбираются по известным [1] таблицам неприводимых многочленов и периодические нормированные ВКФ ПСП циклической системы сигналов являются случайными уровнями с

максимальными боковыми пиками

R_max (λ) ≤ 1,4/ , (2.51)

что меньше в 2 раза, чем для полного кода (3/ ).

Пример. Полагая обозначения n=k эквивалентными, возьмем [2] в качестве образующих М-последовательностей пару при k =5 предпочтительных ПСП длины N=2^k-1 =31, которым соответствуют полиномы 101001 и 111011(см. раздел 2.4.1):

f₁(x) =а₀x⁵+а₃x²+ 1

f₂(x) = а₀x⁵+а₁x⁴+ а₃x²+ а₄x +1. (2.50')

 

Эти ПСП имеют трехуровневую периодическую ВКФ {-1, -t(k), t(k) -2}, где уровень t(k) определен (2.32').

Из этой пары ПСП {a(ν)} и {b(ν)} образуем согласно (2.50) ансамбль

последовательностей { C_j(ν) }, длины N каждая, взяв для каждого циклического сдвига j посимвольную сумму по mod2 символов последовательности {a(ν)} и символов циклически сдвинутой на j версии ПСП {b(ν+j)} или наоборот. Таким образом, получим N новых периодических последовательностей с периодом N =2 ^k -1.

Если включить в этот ансамбль и исходные ПСП {a(ν)} и {b(ν)}, то получим ансамбль из (N+2)=33 ПСП. Эти ПСП называют последовательностями Голда, из которых 31 ПСП не являются последовательностями максимальной длины. Схема реализации генератора предпочтительных М-последовательностей, которым соответствуют примитивные многочлены (2.50'), и генератора ПСП Голда представлена на рис.2.10'.

Рис.2.10'. Схема реализации генератора предпочтительных

М-последовательностей (2.50') и соответсвующих ПСП Голда

 

АКФ ансамбля из 31 ПСП Голда не являются в отличие от М-последо-вательностей двоичными. Голд показал, что значения ВКФ любой пары ПСП ансамбля (N+2) последовательностей Голда и пиковые значения не нормированной АКФ R_max являются троичными с возможными значениями {-1,- t (k), t_k -2}, где уровень t (k) определен (2.32').

 

Циклические последовательности Касами образуются аналогичными процедурами согласно (2.50), где, если ввести задержку D(j), то можно записать в виде:

{C_j(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)}, (2.52)

 

где символ - посимвольное умножение последовательностей {А(ν)} и {D(j)B(ν)}, а произведение D(j)B(ν) является символом B(ν), сдвинутым на j тактов. Число всех ПСП равно N +2 (N сдвигов плюс две исходных ПСП).

Для малой системы Касами с ансамблем

предложено брать исходные М - последовательности: {А(ν)} с периодом , а { B(ν)} с периодом и .

Пример. Рассмотрим процедуру генерации [2] ансамбля ПСП Касами из L =2 ^{k /2} двоичных ПСП периода N =2 ^k -1, когда k –четно.

В этой процедуре начинаем с М-последовательности {a} и формируем двоичную последовательность {b}, взяв каждый (2 ^{k /2}+1) символ из {a}, т.е. последовательность {b} формируется путем децимации (прореживания) {a} через (2 ^{k /2}+1) символ. Полученная последовательность {b} периодическая с периодом (2 ^{k /2}-1), например, при k =10 период ПСП {a} равен N =2 ^k -1=1023, а период {b} равен (2 ^k -1)=31. Следовательно, если мы будем наблюдать 1023 символа последовательности {b}, то увидим 33 повторения 31 символьных последовательностей.

Теперь, взяв N =2 ^k -1 символа из ПСП {a} и {b}, мы формируем новый ансамбль ПСП путем суммирования по mod2 символов из {a} и символов {b} и всех (2 ^{k /2}-2)=30 циклических сдвигов символов из {b}.

Включая ПСП {a} в ансамбль, мы получим ансамбль объемом из L =2 ^{k /2} (1 ПСП {a}+1 ПСП{b}+30 ПСП{b} циклической перестановки) двоичных ПСП длины N =2 ^k -1 каждая, которые называются последовательностями Касами.

АКФ и ВКФ (не нормированные) этих ПСП имеют значения из ряда: {-1, -(2^k/2 +1), 2^k/2 -1 }, а максимальное значение ВКФ для любой пары ПСП этого ансамбля равно . Эта величина удовлетворяет нижней границе , найденной Уолшем для любой пары двоичных ПСП периода N =2 ^k -1 в ансамбле М - последовательностей. Следовательно, малые ПСП Касами длины N =2 ^k -1 из ансамбля L =2 ^{k /2} оптимальны.

 

Большая система Касами получается при произвольном перемножении двух исходных М–последовательностей с периодом , образующих циклическую систему (2.52), на М–последовательность с периодом , где п - четно. Символически этот алгоритм можно записать в виде:

 

{K_ij(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)} {D(i)∙ C(ν)}, (2.53)

 

где {А(ν)}, {B(ν)} - ПСП периода N, а {С(ν)} - ПСП периода N₁; D(j), D(i) – символы сдвига, , .

При значении степени характеристического полинома исходных ПСП объем большой системы Кассами: ,

а при соответственно

При больших п объем боль