Районная олимпиада по математике. 2015 год. 7 класс.

В каждой из предложенных вам задач нужно написать правильный ответ в указанном месте. В некоторых задачах может быть несколько ответов. В этом случае для получения полного балла за задачу вам необходимо указать их все. Если вы хотите исправить свой ответ, следует перечеркнуть ранее написанный и рядом написать новый. Никаких решений задач писать не нужно!

Задача 1. Точка O – центр правильного пятиугольника. Сколько процентов его площади закрашено?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 2. Из набора чисел 1, 2, …, 23 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа х, что число 23 – х делится на 5. Сколько чисел осталось?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 3. Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр квадрата P равен 111 м, а периметр квадрата Q равен 247 м. Чему равен периметр квадрата S? Ответ укажите в метрах.

Ответ: _____________________________________________________

Задача 4. Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до него еще 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 5. Некоторое целое число при делении на 7 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 3. Какой остаток может получиться при делении этого числа на 35?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 6. После того, как на борт были подняты 20 потерпевших кораблекрушение, оказалось, что запасов питьевой воды, имеющейся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как раньше. Сколько людей было на корабле сначала?

Ответ: _____________________________________________________

Задача 7. Сколькими способами можно разложить число 1080 на произведение двух взаимно простых целых чисел, больших единицы?

Ответ: _____________________________________________________

Задача 8. На рисунке справа ABCD — квадрат. Известно, что ÐMND = 70°. Скольки градусам равен Ð COM?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 9. Перед праздником 8 марта в цветочный киоск завезли розы, гвоздики и тюльпаны. Известно, что роз и гвоздик вместе завезли 372 штуки, роз и тюльпанов — 356, а гвоздик и тюльпанов — 410. Сколько роз завезли в киоск?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 10. Какой цифрой заканчивается число 2² + 33³³ + 444⁴⁴⁴ ?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 11. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) встретились 100 человек. Один сказал: «Среди нас ровно один лжец». Другой: «Среди нас ровно два лжеца». И так далее, сотый сказал: «Среди нас ровно сто лжецов». Сколько лжецов могло быть в этой компании?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 12. Сколько существует целых чисел x, для которых произведение (5 – x) · (x + 4) положительно?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 13. Восемь шахматистов играют турнир в один круг (каждый должен сыграть с каждым по одному разу). В какой-то момент главный судья заметил, что первый шахматист сыграл одну партию, второй — две, третий — три, …, седьмой — семь. Какое наименьшее количество партий мог сыграть к этому времени восьмой шахматист?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 14. Автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 80 км/ч, а вторую половину — со скоростью 70 км/ч. Какова была его средняя скорость?

Ответ: _____________________________________________________

Задача 15. Найдите хотя бы одно решение ребуса: ТИК + ТАК=АКТ. (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры.)

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 16. Квадрат 4×4 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат? (Под разрезом понимается, что клетка распадается на две части ненулевой площади).

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 17. Квадрат 6×6 разрезали на фигурки вида и так, что фигурки обоих видов присутствуют. Какое количество фигурок вида могло оказаться в таком разрезании? Укажите все ответы.

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 18. Алексей собирает марки с изображением машин и котиков. Сначала у него было поровну марок обоих видов, но потом он обменялся несколькими марками со своим приятелем. В результате этого обмена число марок с котиками уменьшилось на 15%, а число марок с машинами увеличилось на 5%, причем марок с машинами стало на 24 больше, чем марок с котиками. Сколько марок с котиками осталось у Алексея?

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 19. Найдите хотя бы одно шестизначное число, кратное и сумме, и произведению своих цифр. Цифры могут совпадать, но не могут равняться нулю.

Ответ: _____________________________________________________

 

Задача 20. Решите уравнение

Ответ: _____________________________________________________