Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-22 | 524 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрический смысл предела функции на бесконечности заключается в том, что для любого найдется такое число , что для всех , которые принадлежат объединению интервалов: , соответствующие значения функции попадают в – окрестность числа , т.е. точки графика функции при соответствующих значениях лежат в полосе шириной , ограниченной горизонтальными прямыми и .
5.4. Односторонние пределы
Определение 5.5. Число называется левосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .
Определение 5.6. Число называется правосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .
Определение 5.7. Число называется пределом функции при стремящимся к слева, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке слева, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .
Определение 5.8. Число называется пределом функции при стремящимся к справа, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке справа, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .
Если определена в интервале , то в точке может иметь смысл только число , а в точке – только число .
|
Отметим, что двусторонний предел существует лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть .
В этом случае
Бесконечно большие функции
Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.
Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .
То, что функция является бесконечно большой в точке , соответствует тому, что . Кратко это записывают так: .
5.8. С войства функций, имеющих пределы
Теорема 5.2. Если существует конечный предел , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа и , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Возьмем . И раскроем последнее неравенство по свойству модуля: .
Или . Отсюда следует, что . Если взять , то получим, что , что и требовалось. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Если существует конечный предел , и , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет условию: . Более того, для указанных функция , если , и , если .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого (в частности, возьмем ) найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Раскроем последнее неравенство: , которое выполняется для всех окрестности точки . Получили . Или для указанных . При следует, что и . При следует, что для всех окрестности точки . Тогда, раскрывая модуль в неравенстве , получаем или , что и требовалось доказать.
|
Теорема 5.4. Еслисуществуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют неравенству , то .
Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:
, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!