Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-11-22 | 280 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция нескольких переменных (ФНП).
Определение функции двух переменных ______________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
График функции 2-х переменных.____________
_________________________________________________________________________________________________________
Линия уровня_________________________
___________________________________
______________________________________________________________________
Простейшим примером функции нескольких переменных, используемой в экономике, является производственная функция.
Производственная функция – зависимость результатов производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его факторов – затрат ресурсов.
Производственная функция двух переменных вида называется функцией Кобба-Дугласа. Параметры α и β – частные эластичности выпуска продукции (постоянные величины) по отношению к переменным факторам х и у. График этой функции представляет собой некоторую поверхность трёхмерной системы координат, построение которой может вызвать определённые сложности. Но можно значительно упростить задачу, зафиксировав одну из переменных, как постоянную, придавая ей определённые значения.
Пример. Изменяя величину фонда заработной платы постройте производственную функцию , где - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х - фонд заработной платы (млрд. руб.), у - стоимость основных фондов (млрд. руб.).
§ 2. Частные и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
|
Пусть задана функция z = f (x, y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая оставаться постоянной. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называют частным приращением z по x и обозначают:
Сформулировать самостоятельно частное приращение z по y ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение частной производной по х _____________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Частная производная по х обозначается одним из символов: ; ; ;
Аналогичным образом даётся следующее определение (самостоятельно)
Определение частной производной по y _____________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Частная производная по у обозначается одним из символов: _______________________
Пример. Найти частные производные функции двух переменных по каждой из переменных: х и у.
Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:
Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
|
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Частные производные высших порядков.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Схема формирования частных производных высших порядков функции двух переменных.
Определение. Смешанными частными производными называют___________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорема (о смешанных производных) ______________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Принимаем теорему без доказательств.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:
Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:
Вторые производные по х и по у будем искать, дифференцируя найденные производные первого порядка:
Мы убедились, что теорема выполняется:
Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям.
Решение.
1) Находим производные первого порядка.
2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:
Получаем две критические точки: __________________
3) Находим производные второго порядка:
4) Исследуем первую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
5) Исследуем вторую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. (самостоятельно)
|
1) Находим производные первого порядка.
2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:
Получаем две критические точки: __________________
3) Находим производные второго порядка:
4) Исследуем первую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
5) Исследуем вторую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
Функция нескольких переменных (ФНП).
Определение функции двух переменных ______________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
График функции 2-х переменных.____________
_________________________________________________________________________________________________________
Линия уровня_________________________
___________________________________
______________________________________________________________________
Простейшим примером функции нескольких переменных, используемой в экономике, является производственная функция.
Производственная функция – зависимость результатов производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его факторов – затрат ресурсов.
Производственная функция двух переменных вида называется функцией Кобба-Дугласа. Параметры α и β – частные эластичности выпуска продукции (постоянные величины) по отношению к переменным факторам х и у. График этой функции представляет собой некоторую поверхность трёхмерной системы координат, построение которой может вызвать определённые сложности. Но можно значительно упростить задачу, зафиксировав одну из переменных, как постоянную, придавая ей определённые значения.
Пример. Изменяя величину фонда заработной платы постройте производственную функцию , где - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х - фонд заработной платы (млрд. руб.), у - стоимость основных фондов (млрд. руб.).
§ 2. Частные и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
|
Пусть задана функция z = f (x, y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая оставаться постоянной. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называют частным приращением z по x и обозначают:
Сформулировать самостоятельно частное приращение z по y ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение частной производной по х _____________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Частная производная по х обозначается одним из символов: ; ; ;
Аналогичным образом даётся следующее определение (самостоятельно)
Определение частной производной по y _____________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Частная производная по у обозначается одним из символов: _______________________
Пример. Найти частные производные функции двух переменных по каждой из переменных: х и у.
Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:
Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!