Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-28 | 655 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Равномерное (прямоугольное) распределение. Случайная величина X имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна (рис.1.9,а):
(1.33)
Функция распределения F(x) равномерно распределенной случайной величины X геометрически представляет собой площадь, ограниченную кривой распределения и лежащую левее точки х (рис.1.9, б):
Рис. 1.9. Равномерное распределение
(1.34) |
Любой точке в интервале (0, 1) соответствует одна и та же вероятность. Математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия равны соответственно
(1.35) |
а стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение от математического ожидания) σ =0,2887. Примерно 57,74% всех случайных реализаций равномерно распределенных случайных величин располагаются в пределах ± σ.
Типичным представителем равномерно распределенных случайных чисел (РРСЧ) являются числа рулетки. В природе, по-видимому, не существует явлений с равновероятным распределением. При математическом моделировании систем РРСЧ используют весьма широко в качестве генераторов событий и исходных данных для получения случайных чисел, распределенных по тому или иному закону. Во второй части пособия представлены генераторы РРСЧ и способы их преобразования к заданному закону распределения.
Для равномерно распределенных двух независимых случайных величин плотность распределения и функция распределения записываются по правилам умножения соответственно в виде:
(1.36)
(1.37)
Из этих выражений следует, что одна и та же вероятность соответствует любой точке внутри квадрата (рис.1.10) с вершинами 0,0; 1,0; 1,1; 0,1. Математическое ожидание и дисперсия такого распределения равны
|
(1.38)
(1.39)
(1.40)
Рис. 1.10. Двумерная плотность равномерного распределения
Стандартные отклонения имеют значение σ х= σу=0,2887 и примерно треть всех реализаций, как это показано с помощью заштрихованной области на рис. 1.10, заключено в пределах ±σх и ±σу. Таким же образом находят математическое ожидание и все остальные моменты для любого числа случайных переменных величин, независимых и равномерно распределенных. При совместном изменении нескольких случайных величин в интервале от нуля до единицы значения математического ожидания, дисперсии, третьего и четвертого моментов для каждой из них те же, что и для одной случайной величины.
Рис. 1.11. Нормальное распределение
Нормальное распределение. Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) занимает среди других законов особое положение, с ним связано большинство задач, решаемых в научной и инженерной практике.
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием т и дисперсией σ2, если ее плотность распределения (рис.1.11,а) и функция распределения (рис.1.11,б ) имеют вид:
(1.41) (1.42) |
На рис.1.12 показаны три кривые плотности нормальных распределений; для всех трех m = 0; для кривой 1 σ = 1; для кривой 2 σ = 2,5; для кривой 3 σ = 0,5.
Правило «трех сигм». Если случайная величина распределена нормально, то ее отклонение от математического ожидания практически (с вероятностью 0,9973) не превышает 3σ. На практике это правило иногда используют для отбраковки данных, а также для грубой оценки возможности отнесения закона распределения к нормальному:
• объекты выборки, характеристики которых отклоняются от среднего значения более чем на три стандарта, исключают из состава этой выборки;
• если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но абсолютная величина отклонения любого объекта выборки от среднего значения не превышает трех стандартов, тогда есть основание полагать, что изучаемая величина распределена нормально.
|
Распределение Стьюдента. Распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) называют отношение нормально распределенной случайной величины у к квадратному корню из среднего значения квадратов случайных величин yi с теми же параметрами распределения (рис.1.13), т. е. это распределение для величины с плотностью с разными дисперсиями
(1.43)
при ; Г (f) - гамма-функция. Параметр f называют числом степеней свободы. Этот параметр равен n- 1, где п - объем выборки. В таблицах распределения Стьюдента обычно приводят значения интегральной функции распределения и квантили этого распределения в пределах от - ∞ до х. Переход к другим условиям не представляет затруднений.
Рис.112. Нормальные распределения Рис.1.13. Распределение Стьюдента
С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Распределение χ-квадрат. Пусть Xi есть нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону χ 2 (читается «хи-квадрат») с f = n степенями свободы (рис. 1.14); если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы f = п — 1.
С увеличением числа степеней свободы распределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.
Для функций имеются таблицы, которые используют для проверки согласия статистических данных.
Показательное распределение. Показательное или экспоненциальное распределение имеет плотность (рис.1.15)
(1.44)
Положительную величину λ называют параметром показательного распределения.
Рис.1.14.Распределение -квадрат Рис.1.15. Показательное распределение
Рис. 1.16. Распределение Гумбеля Рис. 1.17. Распределение Вейбулла
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру λ:
(1.45)
Показательное распределение тесно связано с интервалом времени между двумя соседними событиями в стационарном потоке событий. Оно играет большую роль в теории массового обслуживания, в теории надежности и др.
|
Распределение Гумбеля. Плотность распределения Гумбеля или двойного экспоненциального распределения (рис. 1.16) выражается формулой
(1.46)
Это распределение часто используется для описания снеговых нагрузок на сооружения.
Распределение Вейбулла. Распределение Вейбулла (рис. 1.17) описывает явления, связанные с задачами долговечности и усталости, в теории хрупкого разрушения материалов и др. Плотность распределения имеет вид
(1.47)
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!