Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-21 | 394 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Найти интеграл, используя подходящую подстановку:
6.2.1. 6.2.2.
6.2.3. 6.2.4.
6.2.5. 6.2.6.
6.2.7. 6.2.8.
6.2.9. Найти интеграл с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:
1) 2)
Решение: 1) Представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов:
Первый из двух последних интегралов – табличный, а во втором надо сделать подстановку . Тогда , откуда . Следовательно,
2) Запишем данные интегралы как разность двух интегралов:
Второй из двух полученных интегралов – табличный, а в первом сделаем подстановку , при этом условимся писать все вспомогательные выкладки и обозначения, относящиеся к данной подстановке, в квадратных скобках под соответствующим интегралом. В частности,
Таким образом,
Найти интегралы с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральные выражения:
6.2.10. 6.2.11.
6.2.12. 6.2.13.
6.2.14. Найти интеграл, используя подходящую подстановку
1)
2)
Решение: 1) Сделаем такую замену , чтобы подкоренное выражение стало полным квадратом. Подходит, например, подстановка (или ). Тогда
=
=
Учитывая, что , получим окончательно:
=
2) Сделаем замену , чтобы корни извлекались нацело:
=
Найти интегралы, используя подходящую подстановку :
6.2.15. 6.2.16.
6.2.17. 6.2.18.
6.2.19. Найти интеграл
1) . 2) . 3) .
.
Решение: 1) Положим тогда . Используя формулу интегрирования по частям , получаем .
2) Пусть , тогда . По формуле интегрирования по частям находим .
3) Положим ; тогда . Применяем формулу интегрирования по частям: .
Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти , применим ещё раз интегрирование по частям. Полагаем ; тогда и .
|
Найти интегралы, использую интегрирование по частям:
6.2.20. 6.2.21.
6.2.22. 6.2.23.
6.2.24. 6.2.25.
6.2.26. Найти интеграл
Решение: Пусть u=ex, dv=sinxdx; тогда du=exdx, v=-cosx. Следовательно, =
=-excosx+ Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем еще раз проинтегрировать по частям. Приняв u=ex, dv=cosxdx, откуда du=exdx, v=sinx, получаем = - excosx+(ехsinx- - ), т.е. = - ехcosx+exsinx- .
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом . Из этого уравнения находим
2 = - ехcosx+exsinx, т.е. = (sinx-cosx)+C.
Найти интегралы:
6.2.27. 6.2.28.
При вычислении некоторых интегралов приходится комбинировать подстановку с методом интегрирования по частям.
6.2.29. Найти интеграл .
Решение: Так как каждый из двухчленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:
.
Освобождаясь от знаменателей, получим
Следовательно,
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений
из которой найдём .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
.
Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае – три частных значения.
Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот приём к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получили равенство . Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2 и 4. Положим, что в этом равенстве х =1, тогда , откуда 9=3 А, т. е. А =3. Полагая х =2, получаем , т. е. ; полагая , имеем , т. е. . В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,
|
6.2.30. Найти интеграл .
Решение: Множителю соответствует сумма трёх простейших дробей , а множителю простейшая дробь . Итак,
.
Освободимся от знаменателя:
.
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3. Полагая , получаем , т. е. . При имеем , т. е. .
Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, т. е. при . В левой части нет члена с , т. е. коэффициент при равен 0. В правой части коэффициент при равен C+D. Итак C+D= 0, откуда .
Остаётся определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь ещё одно уравнение. Это уравнение можно получить путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при ) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая, например, , получаем
, или , т. е. .
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид
.
Таким образом, получаем
6.2.31. Найти интеграл .
Решение: Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то её следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что многочлен обращается в нуль при , поэтому он делится без остатка на . Выполним деление:
Следовательно,
;
.
Освобождаясь от знаменателей, получим
.
Полагая , найдём , т. е. . Если , то получим , т. е. . При получим , т. е. .
Итак,
Разное.
Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
6.2.32. 6.2.33.
6.2.34. 6.2.35
6.2.36. 6.2.37.
6.2.38. 6.2.39.
6.2.40. 6.2.41
6.2.42. 6.2.43.
6.2.44 6.2.45.
6.2.46. 6.2.47.
6.2.48. 6.2.49.
6.2.50. 6.2.51.
6.2.52. 6.2.53.
Найти интегралы, предварительно преобразовав подынтегральные выражения:
6.2.54. 6.2.55.
6.2.56. 6.2.57.
6.2.58. 6.2.59.
6.2.60.
6.2.61.
Найти интегралы, используя подходящую подстановку :
6.2.62. . 6.2.63.
6.2.64. 6.2.65. .
6.2.66. 6.2.67.
Найти интегралы, используя интегрирование по частям:
6.2.68. 6.2.69.
6.2.70. 6.2.71.
6.2.72. 6.2.73.
6.2.74 6.2.75.
6.2.76. 6.2.77.
6.2.78. 6.2.79.
Разное.
Вычислить неопределенный интеграл
6.2.80. 6.2.81.
6.2.82. 6.2.83.
6.2.84. 6.2.85.
6.2.86. 6.2.87.
6.2.88. 6.2.89.
6.2.90. 6.2.91.
6.2.92. 6.2.93.
6.2.94. 6.2.95.
6.2.96. 6.2.97.
6.2.98. 6.2.99.
6.2.100. 6.2.101.
6.2.102. 6.2.103.
6.2.104. 6.2.105.
|
6.2.106. 6.2.107.
6.2.108. 6.2.109.
6.2.110. 6.2.111.
6.2.112. 6.2.113.
6.2.114.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!