Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-28 | 370 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1. Для того чтобы дифференцированная на интервале(a, b) функция f (x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.
Доказательство. Достаточность. Пусть всюду на интервале (a, b). Требуется доказать, что f (x) не убывает (не возрастает) на интервале (a, b). Пусть х 1 и х 2 – любые две точки интервала (a, b), удовлетворяющие условию х 1< х 2. Функция f (x) дифференцируема (а стало быть и непрерывна) всюду на сегменте [ х 1, х 2]. Поэтому к f (x) можно применить на сегменте [ х 1, х 2] теорему Лагранжа, в результате чего получим
f (x 2) – f (x 1) = (х 2 – х 1) f' (ξ), где х 1 < ξ < х 2.
Отсюда (так как по условию f ' (ξ) ≥ 0 (≤ 0), (х 2 – х 1) > 0) получаем
f (x 2) ³ f (x 1) (f (x 2) ≤ f (x 1)), что и доказывает неубывание (невозрастание) f (x) на интервале (a, b).
Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что (≤ 0) всюду на этом интервале. Придадим аргументу х приращение Δ х и рассмотрим отношение .
Так как f (x) функция неубывающая, то
f (x + Δ х) ³ f (x) при Δ х > 0 и f (x + Δ х) ≤ f (x) при Δ х < 0.
В обоих случаях
,
а, следовательно,
,
что и требовалось доказать.
В рассмотренном случае для монотонной функции f (x) не была исключена возможность сохранять в некоторых промежутках и постоянные значения, а для ее производной – обращаться в этих промежутках тождественно в нуль. Если мы эту возможность исключим, то придем к случаю монотонного возрастания (или убывания) в строгом смысле.
Теорема 2. Для того, чтобы функция f (x) возрастала (убывала) на интервале (а, b), достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.
|
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство достаточности в предыдущей теореме 1. Пусть х 1 и х 2 – любые две точки интервала (а, b), удовлетворяющие условию х 1 < х 2. Записывая для сегмента [ х 1, х 2] формулу Лагранжа, получим f (х 2) > f (х 1), так как на этот раз .
Замечание. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной на интервале (а, b) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f (x) на интервале (а, b). Так, функция возрастает на интервале (0,4), но производная этой функции = 3(х – 2)2 не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке х = 2). Вообще, легко доказать, что функция f (x) возрастает (убывает) на интервале (а, b), если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта производная равна нулю.
Установленную теоремой 2 связь между знаком производной и направлением изменения функции легко понять из геометрических соображений. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x), знак производной указывает, острый или тупой угол с положительным направлением оси Oх составляет луч касательной, лежащий в верхней полуплоскости, т.е. наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею – идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис.20).
Однако в отдельных точках x = x 0 касательная при этом может оказаться и горизонтальной (рис.20), т.е. производная – даже в строгом смысле – монотонно возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений x = x 0 обращаться в нуль.
Рис. 20
4.3. Формула Коши (обобщенная формула конечных приращений)
В этом пункте мы докажем теорему, принадлежащую Коши и обобщающую установленную выше теорему Лагранжа.
Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x): 1) непрерывны на сегменте [ a, b ], 2) существуют конечные производные и в каждой точке интервала (а, b), 3) производная функции g (x) на интервале (а, b) не обращается в нуль, тогда в интервале (а, b) найдется такая точка , что справедлива формула
|
, (3.36)
т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке . Формулу (3.36) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.
Доказательство. Установим вначале, что знаменатель левой части равенства (3.36) не равен нулю, так как в противном случае это выражение не имело бы смысла. Если бы было g (b) = g (a), то для функции g (x) были бы выполнены на сегменте [ a, b ] все условия теоремы Ролля и по этой теореме внутри сегмента [ a, b ] нашлась бы такая точка , что = 0. Последнее противоречит условию 3) теоремы; значит, g (b) ¹ g (a).
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!