История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-11-28 | 271 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Перепишем формулу (3.13), заменив в ней главную часть приращения функции дифференциалом
. (3.21)
Из полученного выражения следует, что хотя дифференциал dy функции не равен приращению D y этой функции, но, так как , то с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем D х, справедливо приближенное равенство
D y» dy. (3.22)
Относительная погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом D х.
Выгода замены приращения функции D у ее дифференциалом dy состоит в том, что dy зависит от D х линейно, в то время как D у представляет собой обыкновенно более сложную функцию от D х.
Если положить D х = х – х 0 и х 0 + D х = х, то равенство (3.22) принимает вид: f (x) – f (x 0) » (x – x 0) или
f (x) = f (x 0) + (x – x 0). (3.23)
Формула (3.23) определяет способ приближенного вычисления функции. По этой формуле для значений х, близких к х 0, функция f (x) приближенно заменяется линейной функцией. Геометрически это соответствует замене участка кривой y = f (x), примыкающего к точке (х 0, f (x 0)), отрезком касательной к кривой в этой точке (см. формулу (3.3)).
В частности, взяв для простоты х 0 = 0 и ограничиваясь малыми значениями х, будем иметь приближенную формулу:
f (x) » f (0) + x. (3.24)
Отсюда, подставляя вместо f (x) различные элементарные функции, легко получить ряд приближенных формул:
(1+ x) m = 1+ mx; sin x» x; tg x» x; ex» 1+ x; ln(1+ x) » x и т.п.
§3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.1. Определение производной n -го порядка
Как уже отмечалось в §1, п.1.1, производная функции y = f (x), определенной и дифференцируемой на некотором промежутке Р представляет собой функцию, также определенную на промежутке Р. Может случиться, что эта функция сама является дифференцируемой в некоторой точке х промежутка Р, т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции у = f (x) в упомянутой точке х, и обозначают одним из символов
|
После того как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т.д. Если предположить, что нами уже введено понятие (n – 1)-й производной и что (n – 1)-я производная дифференцируемая в некоторой точке х промежутка Р, т.е. имеет в этой точке производную, то указанную производную называют n - й производной (или производной n-го порядка) функции у = f (x) в точке х и для обозначения ее применяются символы:
Соотношение, определяющее n- ю производную, имеет вид
. (3.25)
Функцию, имеющую на данном промежутке Р конечную производную порядка n, обычно называют n раз дифференцируемой на данном промежутке.
3.2. Вычисление производной n-го порядка
Методика вычисления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только производные первого порядка. Поэтому для того чтобы вычислить n- ю производную от какой-либо функции, нужно предварительно вычислить производные всех предшествующих порядков. В качестве примеров вычислим производные n- го порядка некоторых элементарных функций.
1) Рассмотрим сначала степенную функцию (х > 0, μ Î R). Последовательно дифференцируя, будем иметь
Отсюда легко уяснить общий закон
.
Если, например, взять μ = –1, то получим
а при и т.п.
2) Пусть теперь Прежде всего имеем
Возьмем отсюда производную (n – 1)-го порядка по соответствующей формуле из 1), заменив в ней n на n – 1; мы и получим тогда
3) Если у = ах (0 < а ¹ 1), то .
Общая формула, легко устанавливая по методу индукции, имеет вид
4) Положим ; тогда . Таким образом, дифференцирование функции прибавляет к аргументу этой функции величину. Отсюда получаем формулу
|
5) Аналогично устанавливается и формула
3.3. Формула Лейбница для n -й производной произведения двух функций
В то время как установленное в §1, п.1.4 правило вычисления первой производной от суммы или разности двух функций легко переносится (например, последовательным применением этих правил) на случай n -й производной (u ± v)(n) = u (n) ± v (n), возникают большие затруднения при вычислении n -й производной от произведения двух функций .
Соответствующее правило носит название формулы Лейбница, и имеет следующий вид:
(3.26)
Примеры. Вычислить n -ю производную функций:
1. у = х 2cos x. Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней В таком случае для любого номера к Следовательно,
2. Положим Тогда Таким образом,
Рассмотренные примеры показывают, что формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из двух перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!