Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-11-28 | 278 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Как уже было сказано (§1, п.1.5), если функция в некоторой точке х = х 0 имеет конечную производную , то приращение функции в этой точке может быть представлено в виде
,
где .
Справедливо и обратное утверждение: если приращение функции в некоторой точке х = х 0 может быть представлено в виде
,
то функция в этой точке имеет производную и = A.
Определение 1. Если приращение функции в точке х может быть представлено в виде
, (3.12)
где , то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Легко установить теперь справедливость следующей теоремы.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в некоторой точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная y' = . При выполнении этого условия равенство (3.12) имеет место при значении постоянной А,равном именно этой производной:
(3.13)
Из этой теоремы следует, что выражения «функция дифференцируема в точке» и «функция имеет производную в точке» эквивалентны.
При наличие равенства (3.13) показывает, что произведение есть бесконечно малая величина первого порядка малости относительно , и, значит, служит для ее главной частью. Произведение всегда бесконечно малая величина высшего порядка относительно , так как
Определение 2. Главная часть приращения функции f (x) при фиксированном х называется дифференциалом функции f (x) и обозначается символом dy или df (x),
dy = . (3.14)
Чтобы истолковать геометрически дифференциал dy и его связь с приращением функции у = f (x), рассмотрим график этой функции (рис.17).
Рис. 17
Значением х аргумента и у = f (x) функции определится точка М (х, f (x)) на кривой. Проведем в этой точке кривой касательную; как мы уже видели (рис.14), ее угловой коэффициент равен производной (x). Если абсциссе х придать приращение , то ордината кривой f (x) получит приращение = NM 1. В то же время ордината касательной получит приращение NK. Вычисляя NK как катет прямоугольного треугольника МNK, найдем:
|
Таким образом, дифференциал функции f (x), соответствующий данным значениям х и , равен приращению ординаты касательной к кривой у = f (x) в данной точке х. В то же время есть приращение ординаты кривой.
Если отождествить дифференциал dx независимой переменной х с дифференциалом функции у = х, то дифференциал dx совпадает с приращением D х независимой переменной х:
dx = dy = · D х = 1·D х = D х. (3.15)
Учитывая соглашение (3.15), можно переписать теперь формулу (3.14), дающей определение дифференциала, в виде
(или ) (3.16)
– так ее обычно и пишут. Отсюда получается
. (3.17)
Таким образом, производную , которую мы раньше представляли как цельный символ, теперь можно трактовать как дробь и рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. То обстоятельство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел dy и dх (ведь dх = D х произвольно), не должно нас смущать: числа dy и dх изменяются пропорционально, причем производная как раз является коэффициентом пропорциональности.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!