Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-11-28 | 340 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим равновесие малого элементарного параллелепипеда с размерами вдоль осей X и Y соответственно ∆ х, ∆ у, b и толщиной, равной единице.
Обозначим площадки, на которых действуют напряжения, индексами 1,2,3,4. С учетом изменения напряжений в пространстве, напряжения, например, sx для граней 1 и 3, не строго равны друг другу. Символы sx, sу, txy, относятся к т. О (x,y) в центре прямоугольника на рис. 2.9.
Рис. 2.9. К выводу дифференциальных уравнений равновесия в
системе прямоугольных координат
Значения напряжений посередине граней будем обозначать через (sx)1, (sx)3, и т.д. Поскольку грани прямоугольника малы, то усилия, приложенные к ним, определятся путем умножения соответствующих напряжений на площадь граней, по которым они действуют. Массовые силы в данном случае имеют тот же порядок, что и напряжения. Обозначим компоненты массовых сил через X и Y, тогда уравнение равновесия сил, действующих параллельно оси X, будет иметь вид:
,
или, после деления всех членов уравнения на ,
. (2.25)
Если теперь уменьшить размеры элементарного параллелепипеда, положив ®0 и ®0, то, согласно определению производной, предел выражения будет равен , а второй член уравнения (2.25) станет равным . Аналогичные выражения получим, проецируя все силы на ось Y.
Таким образом, будем иметь
(2.26)
Это и есть два дифференциальных уравнения равновесия для двухмерной плоской задачи.
Практически во всех задачах геомеханики единственной массовой силой является вес горных пород. Тогда, направив ось Y вниз и обозначив через γ объемный вес горных пород (), получим уравнения равновесия в следующем виде:
; . (2.27)
|
Очень многие задачи механики горных пород удобно решать в полярной системе координат (r, q), в которой компоненты напряжений имеют обозначения sr,sq и trq. (рис. 2.10).
Между напряжениями, записанными в полярной и прямоугольной системе координат, существуют следующие функциональные соотношения
(2.28)
.
Рис. 2.10. К выводу дифференциальных уравнений равновесия в полярных координатах
Подставляя (2.28) в (2.27), получим дифференциальное уравнение равновесия в полярной системе координат
,
(2.29)
.
В случае полярно-симметричной задачи (trq=0) и при отсутствии массовых сил (γ=0) уравнения равновесия (2.29) сводятся к одному, более простому
. (2.30)
Граничные условия
Уравнения равновесия должны удовлетворяться во всех точках исследуемого тела. При достижении границ области компоненты напряжений должны быть такими, чтобы они находились в равновесии с внешними силами, приложенными к границе. В силу этого внешние силы можно рассматривать как продолжение внутренних напряжений.
Рассмотрим малую треугольную призму, такую, что ее гипотенуза совпадает с границей тела (рис 2.11). Обозначим через и компоненты поверхностных сил Р, отнесенных к единице поверхности в этой точке границы. Уравнения равновесия будут иметь вид:
, , (2.31)
где l, m – направляющие косинусы нормали к границе.
В частном случае рассмотрения равновесия прямоугольной пластинки координатные оси обычно направляют параллельно граням пластинки и граничные условия (2.31) можно упростить. Пусть, например, одна из сторон пластинки параллельна оси X, тогда нормаль на этой части границы будет параллельна оси Y; отсюда l =0, m =1. Уравнения (2.31) в этом случае примут вид:
; (2.32)
причем знак (+) берется в том случае, если нормаль проведена в сторону положительных значений y; в противном случае берется знак (-). Из последних формул видно, что компоненты напряжений на границе равны компонентам поверхностных усилий, отнесенных к единице площади границы.
|
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!