История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-28 | 484 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим сначала игру, в которой у первого игрока две стратегии, а у второго m стратегий. Тогда платежная матрица будет иметь вид:
Вектор смешанной стратегии первого игрока состоит из двух элементов, а второго – из m элементов, то есть и . Воспользуемся правой частью определения решения игры в смешанных стратегиях. Пусть первый игрок применил свою оптимальную смешанную стратегию, а второй любую, кроме оптимальной (поочередно свои чистые стратегии). Тогда, умножив вектор p на первый столбец матрицы, воспользуемся нормировочным условием, для того, чтобы сделать замену и получим функцию, зависящую от одной переменной:
.
Аналогично поступим со всеми остальными столбцами:
и т.д.
Последняя функция привет вид:
Сначала на плоскости последовательно рисуются прямые. Затем для каждого значения , путем визуального сравнения соответствующих ему значений l на каждой из построенных прямых определяется и отмечается минимальное из них. В результате описания процедуры получается ломаная, которая является нижней огибающей. Верхняя точка нижней огибающей определяет и цену игры и оптимальную стратегию.
Объясняется этот выбор просто. Оптимальной стратегией первого игрока является максиминная стратегия и поэтому из всех минимумов он выбирает максимум. Пересечение прямых, дающих точку максимума определяет выигрыш игрока, а номера прямых, которые пересекаются в этой точке соответствуют применению вторым игроком данных стратегий с вероятностью, отличной от нуля. Вероятности применений стратегий второго игрока, которые не участвуют в образовании точки экстремума, равны нулю.
В нашем случае эту точку дают пересечения прямых и . Разность между элементами одного столбца является угловым коэффициентом прямой и обозначим его через k. Тогда:
|
,
или через угловые коэффициенты
,
откуда просто определяется вероятность применения первым игроком своей первой стратегии: .
Для того чтобы определить выигрыш, достаточно подставить вероятность в любое равенство, дающее точку экстремума.
Остается определить вероятности применения стратегий вторым игроком. Для этого можно воспользоваться решением игры 2х2, а можно уже найденными угловыми коэффициентами прямых. Рассмотрим игру, составленную из строк и столбцов, вероятности применения которых игроками не равны нулю: .
Тогда для определений оптимальной стратегии второго игрока необходимо воспользоваться системой: . Вычтем из первого равенство второе и сделаем замену переменных и получим: , или в угловых коэффициентах . Откуда с помощью элементарных вычислений имеем: , и тогда будут являться оптимальными смешанными стратегиями второго игрока.
Пример. Рассмотрим игру, заданную матрицей .
.
Шаг 1. Проверим, имеет ли данная игра решение в чистых стратегиях. Нижняя цена игры равна 1, а верхняя – 4. Седловой точки нет. Следовательно, обязано существовать решение в смешанных стратегиях.
Составим функции для построения графика:
Построим график, где по оси абцисс отложим вероятность , а по оси ординат – выигрыш.
Нас интересует нижняя огибающая и максимальная точка из нее. Это пересечение первой и четвертой прямых. Тогда
, и, следовательно
Таким образом, оптимальная смешанная стратегия найдена. Найдем теперь оптимальные смешанные стратегии второго игрока. Так как в точке экстремума активными стратегиями являются первая и четвертая, то уравнение для нахождения оптимальных вероятностей второго игрока имеет вид:
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!