Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-11-28 | 284 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пример 10.1. Вычислить
► Рассмотрим функцию y = . Вычислим ее производную в точке x = 1: y`(1) = 1/3.
По формуле малых приращений имеем (Dx = 0,02):
◄
Пример 10.2. Вычислить sin 290
► Рассмотрим функцию y = sinx. Ее производная в точке x = p/6 = 300 равна . Тогда по формуле малых приращений получим (Dx =-p/180)
sin29 = sin(p/6-p/180)» sinp/6 – = 1/2(1 – ) = 0,484 ….◄
1) sin60015' 2) cos60015' 3) tg60015' 4) ctg60015'
5) 20.013' 6) 50.012 7) 90.501 8) 2.013
9) 5.012 10) 91/3 11) 801/4 12) 1001/8
13) 10001/11 14) lg11 15) arctg1.05 16) sin46
17) cos 44 18) (7.01)3 19) (7.01)4 20) (7.01)7
21) arcsin0.99 22) arccos0.09 23) cos29 24) tg44
25) ctg46 26) arctg0.99 27) 28)
29) 160.503 30) sin14.5cos14.5
11. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0. Сколько общих точек имеет график данной функции с искомой касательной
Пример 11.1. y = x2/2 x0 = 0
► y`=x по формуле уравнения касательной получим y = 0 + 0 = 0 Þ y = 0.
Найдем точки пересечения графика функции и касательной
x2/2 = 0 Þ x = 0 единственная точка совпадения графика функции с касательной – точка (0,0).◄
Пример 11.2. y = sinx, x0 = p/2.
►y`=cosx, y(x0)=1, y`(x0) = 0. Запишем уравнение касательной y = 1. Таким образом в точках пересечения графика функции и касательной получаем уравнение
sinx = 1 Þ x = p/2+2pk, kÎZ.
То есть, график функции имеет бесконечное число общих точек со своей касательной. Легче было решить эту задачу графически, так как, очевидно, что прямая y =1 будет касаться графика y = sinx во всех его «верхних» точках, а таких точек на всей числовой оси бесконечно много. ◄
1) y = sin3x +2, при x0 = 0. 2) y = cos5px +6, при x0 = 1
3) y = sin5(x - 2), при x0 = 2 4) y = cos5px +8, при x0 = 1
5) y = tgpx +2, при x0 = 1 6) y= ctg(px/2) +2, при x0 =1
7) y = arctg2x +4, при x0 = 1 8) y= arcctg3x +6, при x0 = 1/6
9) y = ax2+bx +c, при x0 = –b/(2a) 10) y = ax+b, при x0 = –b/(2a)
11) y = 1/x2, при x0 = –1 12) y = x3+bx +c, при x0 = 0
13) y = (x+1)/(x-1), при x0 = –1/2 14) y = x2/(1+x), при x0 = –1
15) y = (x+1)/(3-x)1/3, при x0 = 2 16) y = sin4x – 1, при x0 = p/8
17) y = sin2(x - 1), при x0 = 3 18) y = cos2x +3, при x0 = 0
19) y = tg4px +2, при x0 = 1 20) y= ctg(3px/2) +2, при x0 = 1
21) y = arctgx/2 +1, при, x0 = 1 22) y= arcctg3x/4 +6, при x0 = 1/8
23) y = 3/2x2, при x0 = 7/2 24) y = x2+5x +23/24, при x0 = 5/4
25) y = (2x+3)/(7x-15), при x0 = 7/5 26) y = x4/2(4+2x), при x0 = 1/2
27) y = tg46x –1/e, при x0 = 2e 28) y = ctg(3x/8) -5, при x0 = 1
29) y = (3x+9)/(6-2x)1/5, при x0 =–2/3 30) y = sin4x/11 – 2, при x0 = 11p/8
12. Найти k-ю производную от функции y = f(x)
Пример 12.1. y=ax-m, k=3
► Последовательно дифференцируя, имеем:
y` = –max-m-1;
y`` = –ma(x-m-1)` = am(m+1)x-m-2;
y``` = am(m+1)(x-m-2)`= –am(m+1)(m+2)x-m-3◄
Пример 12.2. y= , k = 100.
► Преобразуем данную функцию к удобному для дифференцирования виду
y = 2(1-x)-1/2-(1-x)1/2
После 100-кратного дифференцирования получаем:
◄
1) k = 38, y = xex 2) k = 45, y = ex2
3) k = 30, y = sinx +ex 4) k = 39, y = cosx+ex
5) k = 68, y = cos2x +ex 6) k = 100, y = ln2x +ex
7) k = 50, y = 2x+ex 8) k = 618, y = (3x)121+ex
9) k = 63, y = 1+ex 10) k = 87, y = +ex+1/(x+1)
11) k = 88, y = 1/(1-x2)+ex 12) k = 98, y = 1/x+ex
13) k = 78, y = 756x8+56x6+ex 14) k = 6, y = 1+cos(x)ex
15) k = 5, y = +sin(x)ex 16) k = 6, y = x(2x–1)2(x+3)3
17) k = 3, y = 18) k = 100, y =
19) k = 20, y = x2e2x 20) k = 10, y =
21) k = 6, y = sin2xlnx 22) k =100, y = xshx
23) k = 10, y = sinxsin2xsin3x 24) k = 50, y = x2sin2x
25) k = 5, y = xlnx 26) k = 5, y =
27) k = 8, y = 28) k = 10, y =
29) k = 6, y = cosxchx 30) k = 10, y = (2x–1)23x32x
13. С помощью правила ЛОПИТАЛЯ найти предел функции y =f(x) при x x0.
Пример 13.1.
►Непосредственное применение правила Лопиталя не эффективно, поэтому, произведя замену 1/x2 = y и применив правило Лопиталя к полученному выражению получим
◄
Пример 13.2.
► Здесь имеется неопределенность вида 00, поэтому предварительно воспользуемся представлением (u>0, v>0), а также соотношением , вытекающим из непрерывности функции ex.
После очевидных преобразований и применения правила Лопиталя получаем
◄
1) x0 = +0 y = xx. 2) x0 = a y = (ax–xa)/(x–a)
3) x0 = п/2 y = tg(3x)/tgx. 4) x0 = 0 y = (tg(x)–x)/(x–sinx).
5) x0 = 0 y = sinax/sinbx. 6) x0 =1 y = x1/(1–x).
7) x0 = +0 y = (ln(1/x))x. 8) x0 = 0 y = xalnx (a>0).
9) x0 = 0 y = ((1+x)1/x-e)/x. 10) x0 = 0 y = (1-cos(x2))/(x2sin(x2)).
11) x0 =¥ y = lnx/xa(a>0). 12) x0 = 0 y = sinax/tgbx.
13) x0=0 y = ln(sin(ax))/ln(sin(bx)). 14) x0 = 0 y = ln(cos(bx))/ln(cos(ax))
15) x0 = 0 y = (cos(sinx))-cosx)/x4. 16) x0 = 0 y =
17) x0=0 y= 18) x0 = 1 – 0 y = lnx×ln(1-x)
19) x0=0 y= 20) x0 ® +¥ y = (thx)x
21) x0 = 0 y = 22) x0 = 0 y =
23) x0 = 0 y = 24) x0 = 0 y =
25) x0 = 0 y = 26) x0 = 0 y =
27) x0 = 1 y = 28) x0 = 0 y =
29) x0 = +0 y = -1 30) x0 = p/4 y = (tgx)tg2x
14.Найти второй дифференциал функции y = f(x) определяемой уравнением
Пример 14.1. y=lnx
► Находим последовательно
dy = – dx/x;
◄
Пример 14.2. y = f(x), где x – функция от некоторой независимой переменной.
► Исходя из определения дифференциалов высших порядков, имеем:
dy = f`dx; d2y = d(f`dx) = f``(dx)2 + f`d2x;
d3y = d(f``(dx)2 + f`d2x) =
f```(dx)3 + 2f``dxd2x + f``dxd2x + f`d3x = f```(dx)3 + 3d2xdxf`` + f`d3x.◄
1) sin(x + y) =y 2) tg(x + y) = y
3) exy + x + y = 0 4) log3(x + y) = x + y
5) log4(x2 + y) = 1-y 6) arccos(3x4 + y2) = y
7) (1 + x2 + y2)1/3= x-y2 8) arctg(x4 + 3y) = x + y6
9) arcctg(x5 + 2y) = x + y3 10) 2xy + y= xy + x
11) 31/(x + y)= xy 12) xy= x + y
13) yx = x2 + y3 14) (x + y)(x + y) = x4 + y7
15) logxy = x+y2 16) sin2(x + y) = 3y
17) logxy = (x+y)2 18) 3x + y + 2x + 5y = 0
19) y3 = x3 + 3y 20) arctg(x – y) = x + y
21) x2y = xx 22) ln(2x + 3y) = x – 2y2
23) = x2-y2 24) cos(xy) = sin(x + y)
25) tg(cosxy) = lnx3 26) (x + y)3 = xy
27) log3xx + y = y2 28) 2x + y = xy
29) lncos(x3 + y) = x + y5 30) x3x + y3 = 2xy
15. Построить с помощью элементарных преобразований графики функций
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!