Математическое описание случайных процессов

x(t)

£t

Рис. 45

if

Флуктуирующие напряжения, токи являются случайными переменными, поэтому изучение шумов целесообразно проводить, пользуясь методами теории вероятностей. Один из основных способов статистического описания случайной пе­ременной х {t) связан с вычислением ее

среднего значения - x(t), которое обозна­чают как X, и среднего квадрата случайной величины - x(t)². Графическая ил­люстрация смысла этих параметров случайного процесса показана далее на ри­сунках. Пусть имеется случайный процесс, показанный на рис. 45. Его среднее значение X находится как та постоянная составляющая, вокруг которой про­исходят знакопеременные изменения переменной х{t). Дисперсия случайного процесса х{t) в общем случае вычисляется путем вычитания из каждого значе­ния случайного процесса его среднего значения, возведения полученного ре-

зультата в квадрат и усреднения полученной величины по времени - {x(t) - X). Графическая интерпретация данного параметра представлена на рис. 46. Как
можно видеть, дисперсия представляет собой квадрат средней амплитуды от­клонения случайного процесса от своего среднего значения. Грубо говоря, дис­персия - это усредненный по времени квадрат амплитуды случайного процесса.

— 9

Часто X равно нулю, и тогда наиболее значимой величиной становится x(t)². Таким образом, по аналогии с напряжением в электронном устройстве, где есть

постоянное и переменное напряже-

, — ч 2 ние и потому полное напряжение

(x(t)-X)

т

представляет собой их сумму, слу-

{x(t)-X)'

чайный процесс также представ­*

ляют как сумму среднего значения и

Рис.46 квадратного корня из его дисперсии.

В электронике возможные источники шума имеют такой характер флук- туаций, что их средние значения и дисперсии не зависят от времени наблюде­ния. Такие случайные процессы называют стационарными.

Плотность вероятности. Случайные процессы могут быть описаны их плотностью вероятности, которая представляет собой вероятность попадания значения случайной величины в интервал между X и X+dX. Стационарные слу­чайные переменные имеют плотности вероятности, которые не зависят от вре­мени. Их средние значения можно рассчитать, если известна плотность вероят­ности.

Пусть рассматривается большое число идентичных систем, которые под­вержены флуктуациям. Можно определить вероятность AP того, что случайная переменная X, описывающая флуктуации, принимает значения, заключенные между значениями случайной величины от X до X + AX. Для этого предста­вим AP в виде AP = AN, где AN - число систем в момент времени t, для кото­рых эта переменная заключена в интервале AX, а N - число систем в ансамбле. В дифференциальной форме это соотношение записывается так:

dP = f(X)dX.

Функцию f(X) называют плотностью вероятности случайной величины X. Она определяется экспериментально и удовлетворяет условию нормировки

J f(X)dX = 1,

где интегрирование ведется по всем значениям X. Это соотношение выражает тот факт, что X обязательно лежит в диапазоне допустимых значений.

Если известна плотность вероятности f(X), то средние значения X^m вы­числяются следующим образом:

X^m =Jf(X)• X^mdX (m = 1, 2,...), а среднее значение функции g(X) равно:

g(X) = Jg(X) • f(X)dX.

В обоих случаях интегрирование ведется по всем допустимым значениям X.

Важными примерами дискретных плотностей вероятности являются би­номиальный закон, закон Пуассона и нормальный закон. Обсудим их.

Биномиальный закон. Пусть некоторое событие имеет вероятность p реализации в форме A и 1-р вероятность реализации в форме B, и пусть отдель­ные события независимы. Если событие случается m раз, то вероятность P_m(n) того, что n - раз оно реализуется в форме A, будет:

Pm(n) = ₍^m! „ ■ Pⁿ(1 - P)^m ~ⁿ. n!(m - n)!

Здесь: n = m • p; a² = m • p(1 - p).

Закон Пуассона. Пусть отдельные события независимы и происходят случайно со средней частотой n. Тогда вероятность P(n) того, что n событий произойдут в течение временного интервала единичной длительности будет:

(n)ⁿ • exp(-n)

P(n) =

n!

Здесь: a² = n.

Нормальный закон. Пусть события случаются со средней частотой п. Пусть также п - велико и дисперсия а определена обычным способом. Тогда вероятность того, что n событий произойдут в течение единичного временного интервала, будет

(п - пГ 2а2

" <2

P(n) = -exp

\2жа

Можно показать, что биномиальный и пуассоновский законы сводятся к нор-

О —

мальному при больших значениях п. Случай, когда а² = п, называют законом Гаусса.

Автокорреляционная функция. В стационарных случайных процессах важным параметром является среднее значение произведения двух значений

случайного процесса, сдвинутых по времени на промежуток s: X(t) - X(t + s). Оно называется автокорреляционной функцией и является мерой продолжи­тельности влияния значения случайной переменной в данный момент времени на последующие ее значения, т.е. описывает влияние настоящего случайного процесса на его будущее.

Если X(t) - X(t + s) = AS(s), т.е. является S -функцией параметра запазды­вания s, то шум называют белым. Обычно стараются представить флуктуаци- онные явления с помощью источников белого шума.

Метод Фурье. Одним из эффективных методов анализа случайных вели­чин является метод Фурье, основанный на введении в рассмотрение спектраль­ных плотностей случайного процесса - S_v(f). С помощью этой величины флуктуационную эдс V(t) в небольшом интервале частот можно представить в виде источника синусоидальной величиной шумового эдс ■_s/Sv(f)Af. Достоин­ство такого подхода состоит в том, что с введением спектральной плотности для анализа шумов можно пользоваться теорией цепей переменного тока.

Теорема Винера-Хинчина. Важной теоремой спектрального анализа слу­чайной величины является теорема Винера-Хинчина. Пусть X(t) является ста­
ционарным случайным процессом. Разложим X(t) в ряд Фурье в интервале времени 0 < t < T, в пределах которого анализируется случайный процесс:

ж

X(t) = Еan ■ exp(j■ t),

п =—ж

n, и, о 2лп

где п = 0, ±1, ±2,, а c_n и

₁ T

an = -■ J X(t)■ exp(—jcnt)dt. ^T0

Спектральная плотность S_x(f) случайного процесса X(t) определяется сле­дующим образом:

Sx(f) = lim 2 ■ Tanan*,

T ^ж

где знаком (*) отмечена комплексно-сопряженная величина. Тогда в соответст­вии с теоремой Винера-Хинчина спектральная плотность может быть найдена с помощью следующего выражения:

ж____________________

S_x(f) = 2 ■ J X(t) ■ X(t + S) ■ coscSdS.

—ж

При вычислениях обычно находят сначала автокорреляционную функцию, а потом определяют спектральную плотность S_x(f). При измерениях сначала из­меряют S_x(f), а затем находят автокорреляционную функцию.

Далее, если временной сдвиг S равен нулю, то можно найти:

—2----- ж

X²(t) =JSx(f)df, (6.1)

0

т.е. средний квадрат можно определить путем интегрирования, если известна спектральная плотность случайного процесса S_x(f).

Причину, по которой S_x(f) можно легко измерить, поясним следующим образом. Пусть случайный сигнал X(t) подается на вход линейной системы с передаточной функцией g(f) и пусть Y(t) - сигнал на выходе этой системы.

Если S_x(f) и Sy(f) являются спектральными плотностями, а X_n и Y_n - коэф­фициентами разложения их в ряды Фурье, то Y_n = X_n • g(f) так, что

Sy(f) = Sx(f) • \g(f)\². Используя соотношение (6.1), получаем:

ж

Y²(t) =JSx(f) • \g(f)\ df 0

Конкретным выводом, который можно сделать из данного выражения, является следующий: если рассматриваемая линейная система является усилителем, то ам-

о

Рис. 47

Щ)

плитуда случайного процесса Y²(t) может быть измерена с помощью селектив­ного выделения заданной частоты (определение спектральной плотности), квадратичного детектора и интегратора (взятие интеграла).