Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-27 | 297 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Отношение двух бесконечно малых при х → а функций можно заменить в пределе на отношение их производных , если эти функции дифференцируемы в заданной точке и существует предел отношения их производных. Это правило справедливо и для бесконечно больших функций.
При раскрытии неопределённостей вида и можно применить равенство:
. (7.13)
Доказательство этого утверждения следует из теоремы 5 (Коши).
Вычисление предела по формуле (7.13) называется правилом Лопиталя.
Если частное в точке х = а также есть неопределённость вида или , то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
Неопределённости вида 0∙∞ и ∞ – ∞ следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы получилась неопределённость или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
Неопределённости вида 00 или ∞0 или 1∞ раскрываются после логарифмирования функции и нахождения предела её логарифма.
Пример:
Вычислить данные пределы по правилу Лопиталя:
1.
Решение: подстановка предельного значения х = 1 приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя, получим
2.
Решение: преобразуем функцию:
Подстановка предельного значения х = ∞ приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя дважды, получим
.
3.
Решение: имеем неопределенность ∞ – ∞. Преобразуем функцию:
.
4.
Решение: имеем неопределенность . Применяя правило Лопиталя, получим
– опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
– применяем правило Лопиталя еще раз.
.
Исследование функций
Возрастание и убывание функций. Экстремум функций
Определение. Функция f (х) называется возрастающей в точке х 0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие
|
f (х 0 – h) < f (х 0) < f (х 0 + h).
признаком возрастания функции в точке х0 является условие f ′(х 0) > 0.
Определение. Функция f (х) называется убывающей в точке х 0, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие f (х 0 – h) > f (х 0) > f (х 0 + h).
признаком убывания функции в точке х0 является условие f ′(х 0) < 0.
Определение. Функция f (х) называется возрастающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для х 2 > х 1 всегда
f (х 2) > f (х 1).
Определение. Функция f (х) называется убывающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х 1 и х 2 из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. для х 2 > х 1 всегда
f (х 2) < f (х 1).
Определение. Точка х 0 называется точкой локального минимума функции, если при любом достаточно малом h > 0, функция убывает в интервале (х 0– h; х 0), и возрастает в интервале (х 0; х 0+ h). Значение f (х 0) называется минимумом функции.
Определение. Точка х 0 называется точкой локального максимума функции, если при произвольном достаточно малом h > 0, функция возрастает в интервале (х 0– h; х 0), и убывает в интервале (х 0; х 0+ h). Значение f (х 0) является максимумом функции.
Экстремум функции означает наличие минимума или максимума функции в точке х 0. Точка х 0 есть точка экстремума функции.
Условия существования экстремума функции
Необходимое условие существования экстремума:
Если функция f (х) имеет в точке х 0 экстремум, то производная f '(х) обращается в ноль в точке х = х 0, f '(х 0) = 0 (теорема 2 Ферма), или не существует.
Первый достаточный признак существования экстремума:
Если при произвольном достаточно малом h > 0, выполняются неравенства f '(х 0 – h) > 0 и f '(х 0 + h) < 0, то функция f (х) в точке х 0 имеет максимум. Если же при этих условиях выполняются неравенства f '(х 0 – h) < 0 и f '(х 0 + h) > 0, то функция f (х) в точке х 0 имеет минимум. Говорят, что производная в точке максимума с слева и справа меняет знак с плюса на минус, а в точке минимума – с минуса на плюс.
|
Второй достаточный признак существования экстремума:
Если f '(х 0) = 0, а f ''(х 0) ≠ 0, то функция f (х) имеет экстремум в точке х 0. При f ''(х 0) < 0 – максимум; при f ''(х 0) > 0 – минимум.
Если f ''(х 0) = 0 (при f '(х 0) = 0), то вопрос о наличии в точке х 0 экстремума или перегиба (переход графика с вогнутости на выпуклость или наоборот) решается взятием следующей по порядку производной, до тех пор, пока не появится производная отличная от нуля f (n)(х 0) ≠ 0. При n чётном в точке х 0 будет экстремум, а если n нечётное, то перегиб.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!