Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-27 | 306 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть α(х) и β (х) – бесконечно малые при х → а. Их сравнение производится по величине .
1. Если m = 0, то α(х) – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем β (х). При сложении (вычитании) бесконечно малой функции более высокого порядка, ею можно пренебречь: β (х) ± α(х) = β (х).
2. Если m → ∞, то β (х) – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем α(х). И тогда α(х) ± β (х) = α(х).
3. Если m = 1, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) являются эквивалентными: .
Например, первый замечательный предел
(6.1)
Этот предел следует из неравенств
, (6.2)
верных при Поскольку и , то
и справедливость равенства (6.1) вытекает из возможности перехода к пределам в неравенствах (6.2).
4. При других значениях m говорят, что α(х) и β (х) бесконечно малые одного порядка.
5. Если α(х) и β (х) бесконечно малые одного порядка, то [α(х)]k – бесконечно малая k -того порядка по сравнению с β (х).
6. бесконечно малая функция более высокого порядка, чем α(х).
При вычислении пределов возникают ситуации сравнения бесконечно малых. В этом случае говорят "имеется неопределённость вида ". Кроме этой неопределённости существуют и другие: , ∞ – ∞, ∞0, 1∞. Вычисление пределов в этих случаях именуется раскрытием неопределённостей. При раскрытии неопределённостей используется теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях
Теорема 1: предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.
Теорема 2: для того чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них.
|
Основные эквивалентные функции при х → 0.
; arctg x ~ x;
tg x ~ x;
Для раскрытия неопределённостей вида ∞0 и 1∞ используется значение второго замечательного предела
или
– () (6.3)
Примеры:
Найти следующие пределы:
1.
Решение: непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида . Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Числитель и знаменатель при х = 2 обращается в нуль, поэтому многочлены и делятся без остатка на бином х – 2 (теорема Безу):
В результате непосредственной подстановки в полученное выражение предельного значения аргумента получим
2. .
Решение: неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на произведение множителей :
3.
Решение: в данном случае имеем неопределенность вида . В подобного рода примерах числитель и знаменатель делят почленно на , где n – степень многочлена в знаменателе. В данном примере числитель и знаменатель разделим на :
так как и
Примеры:
Найти следующие пределы:
1.
Решение: в этом примере неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на
2.
Решение: неопределенность вида . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела.
так как
3.
Решение: преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, и, применив формулу (6.3), получим.
Сделав замену , получим
Непрерывность функции
Определение. Функция f (x) называется непрерывной в точке x = а, если:
эта функция определена в некоторой окрестности точки а;
существует предел
этот предел равен значению функции в точке а, то есть
Введём обозначения: х – а = ∆ х (приращение аргумента) и f (x) – f (а) = ∆ у (приращение функции). Тогда условие непрерывности запишется в виде
,
то есть функция f (x) непрерывна в точке х = а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Δ х соответствует бесконечно малое приращение функции Δ у.
|
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области.
Точка х = а называется точкой разрыва, если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
Если в точке разрыва существуют лево и правосторонние пределы функции
и А ≠ В,
то имеет место разрыв первого рода.
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то имеет место разрыв второго рода. Разрыв называется устранимым, если предел существует, но функция не определена в этой точке, или функция определена в данной точке, но лево и правосторонние пределы, равные между собой, не равны значению функции в этой точке
f (а – 0) = f (а + 0) ≠ f (а).
Разность f (а + 0) – f(а – 0) даёт величину скачка функции в точке х = а.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!