Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-27 | 343 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.
Определение. Линейной комбинацией трёх векторов в пространстве называется вектор
где l1, l2, l3 некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Говорят, что вектор ā разложен по векторам .
Определение. Векторы называются линейно-зависимыми, если существуют такие постоянные числа, одновременно не равные нулю (хотя бы один из них не равен нулю), что выполняется равенство
Если это равенство выполняется только для l1 = l2 = l3 = 0, то векторы называются линейно-независимыми.
Если – линейно-зависимые векторы, то один из них является линейной комбинацией остальных.
Например, l3 ≠ 0, тогда . Это равенство говорит, что вектор является линейной комбинацией векторов и .
Примером линейной зависимости векторов могут быть два коллинеарных вектора и , так как в этом случае имеет место соотношение , где l– некоторое действительное число.
Из элементарной математики известно, что если и – два неколлинеарных вектора, то всякий компланарный им вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации этих векторов (2.1)
. (2.1)
Отсюда следует, что любые три компланарных вектора линейно- зависимы.
Примером линейной независимости векторов могут быть три некомпланарных вектора , а любой четвертый вектор пространства единственным образом разлагается в их линейную комбинацию
. (2.2)
Равенство (2.2) означает, что любые четыре вектора в пространстве являются линейно-зависимыми.
Базис пространства и разложение вектора по базису
Определение. базисом пространства назовется совокупность линейно-независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства. В трехмерном пространстве это будет любая тройка некомпланарных векторов, на плоскости любая пара неколлинеарных векторов, а на прямой – любой ненулевой вектор. Векторы, составляющие базис называются базисными.
Таким образом, формула (2.1) представляет собой разложение вектора по базису на плоскости, а формула (2.2) – разложение вектора по базису в пространстве . Эти разложения единственны.
Коэффициенты l1 , l2 , l3 в разложении (2.2) называются координатами вектора по базису . Аналогично интерпретируются коэффициенты l1 и l2 в равенстве (2.1).
Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами в заданном базисе сводятся к обычным линейным операциям над числами – координатами векторов.
Теорема: 2.1. При сложении двух векторов и их соответствующие координаты суммируются. При умножении вектора на любое число l все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть и . Тогда в силу свойств линейных операций над векторами и единственности разложения вектора по базису получим
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!