Основные свойства прямоугольника

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Диагонали прямоугольника равны

3. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 4 равных треугольника.

4. Площадь равна S=a*b, где а – длина стороны прямоугольника, a b - ширина

5. Периметр равен = a+b+a+b

Прямоугольник относится к одному из тех понятий, которому по определенным методикам дается явное определение, т.е. прямоугольник определяется как, четырехугольник у которого все углы прямые. Указанное определение лежит в основе распознания объектов, принадлежащих объему понятия прямоугольник в начальной школе.

Для того, чтобы дети распознали, является ли фигура прямоугольником, надо чтобы они прежде всего определили является ли фигура четырехугольником. Для этого они должны определить, обладает ли фигура следующими свойствами:

- все ли углы в четырехугольнике прямые

- равны ли в прямоугольнике противоположные стороны между собой

Если все эти условия выполняются, то фигура является прямоугольником.

 

23. Различные определения понятия «квадрат». Свойства квадрата. Определение понятия «квадрат» в начальном курсе обучения математике и алгоритм его использования при распознавании квадратов.

 

Квадрат – это один из видов геометрических фигур, который подробно изучается в курсе математики в нач. шк.

В случае изучения квадрата, объем, раскрываемых существенных свойств этого понятия значительно более широк. Учащиеся знакомятся с целым рядом существенных свойств указанного понятия, а именно, что у квадрата:

- все стороны равны,

- все углы равны,

- чему равны периметр и площадь квадрата

- что квадрат – это вид прямоугольника.

Т.к. квадрат – это видовое понятие по отношению к понятиям «четырехугольник», «параллелограмм», «прямоугольник», «ромб», то соответственно квадрату можно давать различные определения в зависимости от родового понятия.

Квадрат – это параллелограмм, у которого соседние стороны равны и угол равен 90⁰.

Квадрат – это прямоугольник, у которого соседние стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого угол равен 90⁰.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и угол равен 90⁰.

Признаки квадрата:

1.если в четырехугольнике все стороны равны и каждый угол равен 90⁰, то это– квадрат.

2. если в ромбе угол равен 90⁰, то этот ромб – квадрат.

3. если в прямоугольнике соседние стороны равны, то этот прямоугольник – квадрат.

Т.к. – это и ромб, и прямоугольник, то он обладает всеми теми свойствами, которые присущи как прямоугольнику, так и ромбу, а т.к. квадрат еще является и параллелограммом, то он обладает и всеми свойствами, присущими параллелограмму.

Основные свойства квадрата:

1. диагонали пересекаются под прямым углом

2. диагонали квадрата равны

3. диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

4. площадь равна а², где а – длина стороны квадрата

5. периметр равен 4а

6. около квадрата можно описать и вписать окружность в него, причем центры вписанной и описанной окружности совпадут.

Квадрат относится к одному из тех понятий, которому по определенным методикам дается явное определение, т.е. квадрат определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для того, чтобы дети распознали, является ли фигура квадратом, надо чтобы они прежде всего определили является ли фигура прямоугольником. Для этого они должны определить, обладает ли фигура следующими свойствами:

- является ли она четырехугольником

- все ли углы в четырехугольнике прямые

- равны ли в прямоугольнике все стороны между собой

Если все эти условия выполняются, то фигура является квадратом.

Объем существенных свойств квадрата, которые должны знать все дети независимо от системы, по которой они занимаются, указан в стандартах по математике для начальной школы. Вот некоторые из них:

· это четырехугольник

· в квадрате все стороны равны

· в квадрате все углы прямые

· периметр квадрата

· площадь квадрата (а х а)

В некоторых учебниках еще рассматриваются такие понятия как:

- диагональ квадрата

- ось симметрии квадрата.

Понятие площади геометрической фигуры и ее измерения. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Измерение площади фигуры при помощи палетки. Примеры заданий из учебников математики для начальной школы.

 

Площадь – одна из наиболее распространенных скалярных величин, о которых дети имеют представление из практической жизни.

Под площадью следует понимать такую неотрицательную скалярную величину, которая для каждой фигуры определяется следующим образом:

· равные фигуры имеют равные площади;

· если фигура состоит из двух или нескольких частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Измерить площадь какой-нибудь геометрической фигуры — значит узнать, сколько тех или иных квадратных единиц содержится в фигуре, площадь которой измеряется.

Для того, чтобы уточнить у учащихся представление о том, что такое площадь, им следует предлагать задания, в основе которых лежит сравнение площадей различных фигур визуальным способом, а также с помощью наложения и приложения.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Постепенно детей следует подвести к тому, что чтобы сравнить площади фигур между собой, необходимо площади этих фигур измерить при помощи специальной единичной величины. Так у детей появляется знание о такой единице площади, как см² .

С помощью контекстуально-остенсивного метода учитель формирует у учащихся представление о квадратном см, как о площади фигуры “квадрат”, сторона которого равна 1 см.

Далее детям предлагаются различные практические задания, при выполнении которых им нужно найти площадь той или иной фигуры с помощью мерки в 1 см². Обычно это делается в виде подсчета количества квадратов со стороной 1 см, которые умещаются в измеряемой площади. Чтобы такого рода задание можно было осуществить, необходимо активно использовать наглядность, при чем как индивидуальную, так и коллективную.

Бывает очень полезно, чтобы дети изготовляли соответствующие мерки на таких уроках, как труд или рисование.

После ознакомления учащихся с такой мерой измерения площади как см², следует не забывать познакомить детей с другими мерами площади: дм², м² и т.д. С помощью моделей дм², м² и т.д. можно составить четкие представления учащихся о том, в каких соотношениях находятся эти меры площади.

Фигуры называются равносоcтавленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Т.к. существуют различные способы измерения фигур, то учащихся необходимо познакомить с измерением площади с помощью “палетки”. Палетка представляет собой прозрачное полотно, разделенное на квадраты. Чем площадь каждого из этих квадратов будет меньше, тем точность измерения будет выше. Такой инструмент можно предложить детям изготовить самостоятельно или с помощью учителя на уроках труда. Дальше подсчитываются квадраты, которые полностью уместились в границах измеряемой фигуры, затем те, которые уместились не полностью.

Измерение площади фигур с помощью палетки относится к так называемым прямым способам измерения площади.

Наложив палетку на прямоугольник, дети легко находят его площадь. Для этого они подсчитывают число квадратных см в одном ряду, потом считают число рядов и перемножают полученные числа. a*b(см²).

Полезно познакомить детей с правилами пользования палеткой при измерении площади произвольной фигуры.

Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а). Затем подсчитывается число неполных квадратных сантиметров (пусть оно будет равно b) и делится на 2 (b/2). Площадь фигуры приблизительно равна а+b/2 (см²).

Кроме этого в школе рассматриваются и косвенные способы измерения фигуры, т.е. при помощи измерения тех или иных элементов фигуры, а потом нахождения площади с помощью формул. Так в частности дети учатся находить площадь такой фигуры как прямоугольник.

Детям предлагаются различные задания на нахождение площади для осознанного формирования у них представлений о площади.

Кроме указанных выше мер для измерения площади в отдельных методиках учащимся предлагается познакомиться со специфическими мерами площади: гектар, аршин и т.д. Ими удобно измерять площадь земельных участков.

 

3 ВОПРОС: Истомина 3кл.1ч.с.20.

Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в их основе. Примеры заданий из учебников математики для начальной школы, раскрывающих теоретические основы данного алгоритма.

 

В начальной школе алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления известны под: сложением, вычитание, умножением, делением многозначных чисел в столбик.

В основе алгоритмов письменного сложения и вычитания лежат следующие теоретические положения:

1. Представление числа в десятичной системе счисления.

6145 = 6*10³ + 1*10² + 4*10 + 5

Представление числа в десятичной системе счисления аналогом в начальной школе является разрядный состав числа.

2. Предлагая учащимся записать одно слагаемое под другим, а также вычитаемое, разряд под разрядом, мы тем самым раскрываем такие теоретические основы данных алгоритмов, как коммутативно-ассоциативное свойство сложения, а также правило вычитания числа из суммы и суммы из числа.

3. В основе сложения и вычитания многозначных чисел также лежит дистрибутивный закон умножения относительно сложения и вычитания соответственно.

4. Общее положение, лежащее в основе данных письменных вычислительных алгоритмов – табличные случаи сложения однозначных чисел.

 

Рассмотрим выше перечисленные теоретические положения на примере письменного вычитания:

468 – 237 (представление чисел в десятичной системе счисления) ===

=== (4*10² + 6*10 + 8) – (2*10² + 3*10 + 7) (правило вычитания суммы из числа) === (4*10² + 6*10 + 8) – 2*10² – 3*10 – 7 (правило вычитания числа из суммы + дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания) ===

=== (4*10² – 2*10²) + (6*10 – 3*10) + (8 – 7) (табличное сложение + дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания) ===

2*10² + 3*10 + 1 (представление числа в десятичной системе счисления) ===

=== 231.

Для того, чтобы упростить указанную запись, представим эту запись "в столбик".

Алгоритм письменного вычитания многозначных чисел:

1. Pасписываем вычитаемое под уменьшаемым строго разряд под разрядом

2. Вычитание начинаем с разряда единиц:

- если число единиц разряда единиц уменьшаемого больше или равно числу единиц разряда единиц вычитаемого, то производим вычитание, полученный результат записываем в разряд единиц разности и переходим к вычитанию в следующем разряде.

- если число единиц разряда единиц уменьшаемого меньше числа единиц разряда единиц вычитаемого и число единиц в разряде десятков уменьшаемого ≠ 0, то уменьшаем число десятков в разряде десятков уменьшаемого на 1, увеличивая одновременно число единиц в разряде единиц уменьшаемого на 10. Производим вычитание, полученный результат записываем в разряд единиц разности и переходим к вычитанию в следующем разряде.

- если число единиц в разряде единиц уменьшаемого меньше числа единиц разряда единиц вычитаемого и число единиц в разряде десятков, сотен, тысяч и т.д. = 0, то уменьшаем число единиц в первом из разрядов уменьшаемого, в котором число единиц отлично от 0, на 1, увеличиваем одновременно число единиц в тех разрядах уменьшаемого, где был 0, на 9, а число единиц в разряде единиц на 10. Производим вычитание, полученный результат записываем в разряд единиц разности и переходим к вычитанию в следующем разряде.

3. Производим вычитание в следующем разряде, повторяя один из трех описанных процессов

4. Процесс вычитания считаем законченным, если произвели вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

3 ВОПРОС: Истомина 3кл.(ВЫЧИТАНИЕ В СТОБЛИК)