Основные этапы развития математической статистики

В начальный период развития математической статистики имели большое значение работы А. Кетле (1796—1874), Ф. Гальтона (1822—1911) и, в особенности, К. Пирсона (1857—1936) [4].

Развитие естествознания и техники выдвинуло перед математической статистикой ряд новых проблем, решение которых привело к дальнейшему совершенствованию математических методов статистики. В ее современном развитии определяющую роль сыграли труды Р. Фишера (1890—1962), Ю.Неймана, А. Вальда (1902—1950), Г. Крамера и др.

Большое значение в развитии математической статистики имели работы советских ученых Е. Е. Слуцкого (1880—1948), А. Н. Колмогорова, В. И. Романовского (1880—1954) и др.

Закономерность случайного рассеивания, выражаемая нормальным распределением, получила свое научное обоснование в теоретико-вероятностных исследованиях выдающихся русских математиков П. Л. Чебышева (1821—1894), А. А. Маркова (1856—1922) и А.М.Ляпунова (1857—1918), значительно расширивших результаты классических исследований Якова Бернулли (1654—1705), Муавра (1667—1754), Лапласа (1749—1827) и Пуассона (1781 — 1840).

Современное развитие теории вероятностей и математической статистики складывалось в результате международного сотрудничества очень большого числа исследователей.

В XX веке математическая статистика представлена крупнейшими учеными: С. Н. Бернштейном, А. Н. Колмогоровым, А. Я. Хинчиным (1894—1959), Б». В. Гнеденко, Ю. В. Линником и др.

Как и все математические теоремы, положения теории вероятностей носят абстрактный, безразличный к конкретной природе массовых явлений характер.

 

Глава 1. Основные методы описательной статистики

Выборочный метод

Генеральная и выборочная совокупности

Определение 1. Совокупность объектов, количественный или качественный признак которой требуется изучить статистическими методами, называется генеральной совокупностью. Другими словами генеральная совокупность – это совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий.

Пример.

Замечание. Понятие генеральной совокупности в определённом смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей, вероятностном пространству).

Определение 2. Исследование признака называется сплошным, если обследуют каждый из элементов совокупности относительно признака, которым интересуются.

Недостатки сплошного исследования:

1)

2)

Определение 3. Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Определение 4. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов (элементов) этой совокупности.

Замечание. Выборку можно рассматривать как эмпирический аналог генеральной совокупности.

Основная идея выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о её свойствах в целом.

Преимущества выборочного метода:

1)

2)

3)

4)

Основной недостаток выборочного метода:

Замечание. Ошибки репрезентативности могут быть заранее оценены и сведены к минимуму посредством правильной организации выборки. Для того, чтобы по данным выборки можно было судить о генеральной совокупности, выборка должна быть случайной и репрезентативной.

Определение 5. Выборка называется случайной если все элементы генеральной совокупности имеют равные возможности попасть в выборку.

Практическая реализация:

Определение 6. выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Замечание. В силу закона больших чисел выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно.

Способы формирования выборок (способы отбора)

№	Название	Определение
1.	Собственно-случайный (простой случайный)
бесповторный
повторный
Виды отбора, при которых генеральная совокупность разбивается на части
2.	Механический
3.	Типический (стратифицированный)
4.	Серийный (гнездовой)

Замечание 1. Если объём генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается. В предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объём, это различие исчезает.

Замечание 2. На практике часто применяется комбинированный отбор.

Задача выборочного метода: оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Замечание 3. теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объёма выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются к определённым параметрам генеральной совокупности.