Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...

Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...

Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...

Интересное:

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...

Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...

Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Основные свойства определенного интеграла

2017-11-17

203

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) , где - постоянная.

Правила вычисления определенного интеграла

1) Формула Ньютона-Лейбница:

где - первообразная для .

2) Интегрирование по частям:

где и - непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке .

3) Замена переменной:

где - функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке .

Пример 29 Вычислить:

Решение.

По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:

Пример 30. Вычислить:

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям:

Пример 31 Вычислить:

Решение.

Сделаем замену переменной:

; ;

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми :

Пример 32

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью .

Решение.

Парабола пересекает ось в точках и ,

.Поэтому: (кв.ед.).

Вычисление объемов тел вращения

При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: , , ; вокруг оси , получим объем тела вращения:

Пример 33

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .

Решение.

Для построения кривой найдем точки:

при , ; при , .

А(1,0); В(2,1)

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая имеет непрерывную производную на отрезке , то длина дуги этой кривой находится по формуле:

Пример 34

Найти длину дуги кривой от до ().

Решение.

Найдем . Тогда .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке ?

2. Что называется определенным интегралом?

3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?

4. Назовите основные свойства определенного интеграла.

5. Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.

6. Перечислите основные приложения определенного интеграла.

5 Индивидуальные задания для контрольной работы №2

Задача №1

Найти производные функций

1. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

2. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

3. а) , б) ,

в) , г) .

д) .

4. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

5. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

6. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

7. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

8. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

9. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

10. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

11. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

12. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

13. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

14. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

15. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

16. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

17. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

18. а) б)

в) г) ,

д)

19. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

20. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

Задача №2

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики:

1. . 7. . 14. .

2. . 8. . 15. .

3. . 9. . 16. .

4. . 10. . 17. .

5. . 11. . 18. .

6. . 12. . 19. .

13. . 20. .

Задача №3

Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменного).

1. 7. 14.

2. 8. 15.

3. 9. 16.

4. 10. 17.

5. 11. 18.

6. 12. 19.

13. 20.

Задача №4

Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №5

Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №6

Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №7

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

1. y= -x+1; 7. у=2 -6х+1;

у= - +3x+6. у= - +х-1.

2. y= +x+2; 8. у= -2х+4;

y= - -5x+7. у= - -х+2.

3. y= -3x+2; 9. у= -5х-3;

y= - -2x+4. у= - 3 +2х-1.

4. y=2 +6х-3; 10. у= -2х-5;

y= - +х+5. у= - -х+1.

5. y=3 -5х-1; 11. у= -2х-5;

y= - +2х+1. у= - -х+1.

6. у= -3х-1; 12. у= +3х-2;

у= - -2х+5. у= - -х+3.

Задача №8

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

1. y= ; 11. у=2 ;