Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-17 | 225 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
Комплексным числом – называется упорядоченная парадействительных чисел Z=(x, y), x,y Î R (x=Rez – действительная часть, y=Imz – мнимая часть), которые удовлетворяют аксиомам:
а) отождествление (x, 0) =x Î R
б) равенство к. ч.: для любых z1=(x1,y1), z2=(x2,y2) z1=z2 Û x1=x2 и y2 = y1
в) над комплексными числами определены операции: сложение и умножение.
1. Сложение: Z1+Z2 = (x1+x2, y1+y2)
а) Z1+Z2 = Z2+Z1
Доказательство: Z1+Z2=(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1) = Z2+ Z1
(по свойству перестановочности сложения действительных чисел)
б) z1+z2+z3=z1+(z2+z3)
в) существует ед. комплексное число O, O Î C, такое, что Z+ O =Z. O = (0, 0).
2. Умножение: Z1*Z2=(x1*x2-y1*y2, y1*x2+x1*y2)
a) Z1*Z2=Z2*Z1
б) (Z1*Z2)*Z3=Z1*(Z2*Z3)
в) существует ед. комплексное число e, e Î C, такое, что Z* e =Z; e =(1,0)
г) если z1<>(0,) то существует обратное число z2, такое что Z1*Z2=1.
Z2=Z1-1= [x/(x2+y2), -y/(x2+y2)]
е) z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3
ж) С*Z=(C*x, C*y)
3. Вычитание: Разностью комплексных чисел Z1 = (x1,y1) и Z2 = (x2,y2) называется комплексное число Z=Z1-Z2, такое, что Z+Z 2 =Z 1. Утверждение: Z1-Z2= (x1-x2, y1-y2)
Доказательство: z = z1-z2=(x, y)
Z+z2=(x, y) +(x2, y2) = z1 =(x1, y1)
{ x+x2=x1 Þ { x=x1-x2
{ y+y2=y1 { y=y1-y2
4. Деление: Пусть z2 ¹ 0. Частное от деления z1/z2 называется число Z, такое, что Z*z 2 =z 1
Формула Муавра.
!!! Zn= rn((cos (j * n) +i*sin(j*n))
Тригонометрическая форма к.ч.:
z1=x+i*y= (x2+y2)1/2 *(x / (x2+y2)1/2 + i*y/ (x2+y2)1/2) = r*(COS(j) + i*SIN(j))
Экспонентальная форма: Z= r*e(i*j), e(i*j)=COS(j)+i*SIN(j)
Извлечение корня из к.ч.:
Корень n степени из Z = |Z|1/n *{COS (j+2p*k)/n + i*SIN (j+2p*k)/n}, где k=0,1,.., n-1.
2. Понятие точной верней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.
Число М (соответственно m) называется точной верхней (нижней) гранью множества чисел A, если выполняются следующие свойства:
|
1) x <= M (соответственно x >= m) для всех x Î A;
2) Как бы ни было мало e > 0, найдется такое число Xo, что M- e<Xo (Xo<M- e)
M =Sup A =Sup x, x Î A; m = Inf A =Inf x, x Î A;
Теорема: Если множество X¹0 ограничено сверху (снизу), то $! точная верхняя грань (нижняя грань этого множества). Без доказательства.
Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
Опр. 1. Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного числа e найдется (зависящее от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных n>N выполняется равенство:
| X n - a | < e (n > N)
Теорема 1. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то ее предел единственный.
Доказательство: пусть это не так…
Xn –> a: { Xn – a} - Б.М.П. Xn – a = a n
Xn –> b: { Xn – b} - Б.М.П. Xn – b = b n
(a¹b)
Þ b-a = a n -b n - б.м.п.
b–a = const – б.м.п.
Þ (по Т.7 параграфа 1) b-a=0 Þ b=a #
Теорема 2. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то она ограничена.
Доказательство:
а – предел { Xn}
Фиксируем некоторое положительное число e и по нему номер N такой, что | Xn – a| < e при всех n>= N или, что то же самое, a- e < Xn <a+ e. Обозначим через А наибольшее из следующих (N-1) чисел: |a-e|, |a+e|, |X 1 |, |X 2 |,…, |X N-1 |. Тогда очевидно, | Xn | <= A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {Xn}
#
Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.
Теорема 3: Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn + Yn –> a + b.
Доказательство:
Xn –> a: Xn - a = a n – б.м.п.
Yn –> b: Yn - b = b n – б.м.п.
Þ Xn + Yn = a +b + a n + b n
Xn + Yn – (a +b) = a n + b n
Þ Xn + Yn –> (a + b);
#
Теорема 6: Если Xn –> a, то |Xn| –> | a |
Доказательство:
1) a = 0: Xn –> 0; Þ? |Xn| –> 0
Xn –> 0: "e >0 $N(e)Î N: "n>N(e) Þ
|Xn| < e; (||Xn|| < e) Þ
"e >0 $N(e)Î N: "n>N(e) Þ ||Xn|| < e; т.е |Xn| –> 0
2) a¹0: Xn –> a;? Þ |Xn| - | a | - б.м.п.
|
Xn = a + a n, где a n – б.м.п.; |Xn| - | a | = | a + a n | - | a |=
= ((a+a n)2 – a2) / | a + a n | +| a| = (| a + a n | -| a|)-1* [2aa n + a n 2];
(| a + a n | -| a|)-1– ограниченная последовательность <= 1/| a |,
[2aa n + a n 2] б.м.п. Þ |Xn| - | a | - б.м.п. #
Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.
Теорема 4. Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn * Yn –> a * b
Доказательство:
Xn –> a: Xn - a = a n – б.м.п.
Yn –> b: Yn - b = b n – б.м.п.
Xn * Yn = (a + a n)(b + b n) = ab + a n b + b n a + a n b n
Xn * Yn - ab = (a n b + b n a + a n b n) – это б.м.п. Þ Xn * Yn –> a * b
Теорема о пределе промежуточной последовательности.
Теорема. Пусть {Xn} и {Yn} – две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, все элементы последовательности {Zn}, по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют условию:
Xn <= Zn <= Yn.
Тогда последовательность {Zn} сходиться к тому же самому пределу a.
Доказательство:
Xn <= Zn <= Yn. Þ
Xn – a <= Zn – a <= Yn – a Þ
| Zn – a | <= max {| Xn – a |,| Yn – a |};
Xn –> a: "e > 0 $N1(e)Î N: "n> N1(e) Þ |Xn – a | < e
Yn –> a: "e > 0 $N2(e)Î N: "n> N2(e) Þ |Yn – a | < e
"e > 0 $N(e) = max{N1(e), N2(e)}: "n>N(e) Þ
|Zn – a | <= max {| Xn – a |,| Yn – a |} < e Þ Zn –> a. #
Непрерывность функции в точке. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
Комплексным числом – называется упорядоченная парадействительных чисел Z=(x, y), x,y Î R (x=Rez – действительная часть, y=Imz – мнимая часть), которые удовлетворяют аксиомам:
а) отождествление (x, 0) =x Î R
б) равенство к. ч.: для любых z1=(x1,y1), z2=(x2,y2) z1=z2 Û x1=x2 и y2 = y1
в) над комплексными числами определены операции: сложение и умножение.
1. Сложение: Z1+Z2 = (x1+x2, y1+y2)
а) Z1+Z2 = Z2+Z1
Доказательство: Z1+Z2=(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1) = Z2+ Z1
(по свойству перестановочности сложения действительных чисел)
б) z1+z2+z3=z1+(z2+z3)
в) существует ед. комплексное число O, O Î C, такое, что Z+ O =Z. O = (0, 0).
2. Умножение: Z1*Z2=(x1*x2-y1*y2, y1*x2+x1*y2)
a) Z1*Z2=Z2*Z1
б) (Z1*Z2)*Z3=Z1*(Z2*Z3)
в) существует ед. комплексное число e, e Î C, такое, что Z* e =Z; e =(1,0)
г) если z1<>(0,) то существует обратное число z2, такое что Z1*Z2=1.
Z2=Z1-1= [x/(x2+y2), -y/(x2+y2)]
е) z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3
ж) С*Z=(C*x, C*y)
3. Вычитание: Разностью комплексных чисел Z1 = (x1,y1) и Z2 = (x2,y2) называется комплексное число Z=Z1-Z2, такое, что Z+Z 2 =Z 1. Утверждение: Z1-Z2= (x1-x2, y1-y2)
|
Доказательство: z = z1-z2=(x, y)
Z+z2=(x, y) +(x2, y2) = z1 =(x1, y1)
{ x+x2=x1 Þ { x=x1-x2
{ y+y2=y1 { y=y1-y2
4. Деление: Пусть z2 ¹ 0. Частное от деления z1/z2 называется число Z, такое, что Z*z 2 =z 1
Формула Муавра.
!!! Zn= rn((cos (j * n) +i*sin(j*n))
Тригонометрическая форма к.ч.:
z1=x+i*y= (x2+y2)1/2 *(x / (x2+y2)1/2 + i*y/ (x2+y2)1/2) = r*(COS(j) + i*SIN(j))
Экспонентальная форма: Z= r*e(i*j), e(i*j)=COS(j)+i*SIN(j)
Извлечение корня из к.ч.:
Корень n степени из Z = |Z|1/n *{COS (j+2p*k)/n + i*SIN (j+2p*k)/n}, где k=0,1,.., n-1.
2. Понятие точной верней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.
Число М (соответственно m) называется точной верхней (нижней) гранью множества чисел A, если выполняются следующие свойства:
1) x <= M (соответственно x >= m) для всех x Î A;
2) Как бы ни было мало e > 0, найдется такое число Xo, что M- e<Xo (Xo<M- e)
M =Sup A =Sup x, x Î A; m = Inf A =Inf x, x Î A;
Теорема: Если множество X¹0 ограничено сверху (снизу), то $! точная верхняя грань (нижняя грань этого множества). Без доказательства.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!