Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 1(1) = c 1(2), c 2(1) = c 2(2), …, cn (1) = cn (2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

________________________________.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A: (Поскольку A^-1A = E и E ∙ X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.)

Так как A ^{− 1} A = E, получаем X = A ^{− 1} B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только еслиdet A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n,..., a_n1 , b₂,..., b_n считаются заданными.

Вектор -строка íx₁, x₂,..., x_n

ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел

Вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D=çAê=ça _ij

ç, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется

Определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают

Следующие случаи.

a). Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может

быть найдено по формулам Крамера: x₁=

, где

определитель n-го порядка D_i (i=1,2,...,n) получается из

определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁

, b₂ ,..., b_n.

б). Если D=0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо

Несовместна,т.е. решений нет.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

__________________________________________