Выполнение действий с рациональными числами. Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств первой степени.

Содержание

Перечень практических работ_ 5

Практическая работа № 1_ 7

Практическая работа № 2_ 11

Практическая работа № 3_ 14

Практическая работа № 4_ 18

Практическая работа № 5_ 21

Практическая работа № 6_ 24

Практическая работа № 7_ 27

Практическая работа № 8_ 30

Практическая работа № 9_ 34

Практическая работа № 10_ 37

Практическая работа № 11_ 40

Перечень практических работ

№ п/п	Наименование практической работы (тема)	Кол-во аудит. часов
	Выполнение действий с рациональными числами. Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств первой степени.
	Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств второй степени.
	Вычисление приближённых вычислений.
	Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями.
	Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих корни n-ой степени ().
	Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни.
	Решение иррациональных уравнений.
	Вычисление логарифма числа. Логарифмирование и потенцирование алгебраических выражений.
	Вычисление логарифма числа с произвольным основанием
	Преобразование и вычисление значений показательных и логарифмических выражений.
	Простейшие показательные и логарифмические уравнения.

Практическая работа № 1

Практическая работа № 2

Практическая работа № 3

Практическая работа № 4

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями

Цель:научиться применять свойства степени для преобразования степенных выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 4.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения выражения с применением свойств степени;

- решение уравнений;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени.

Краткая теоретическая справка

Степенью числа a с натуральнымпоказателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

.

Если , (), то .

Если , то .

Свойства степени

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2. Решите уравнение.

3. Упростить выражение.

 

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Для самостоятельной работы

 

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

 

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Выражение какого вида называют степенью?

2. Что понимают под , где n – натуральное число?

3. Что понимают под , где и n – натуральное число?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 5

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических

выражений, содержащих корни n-ой степени ()

Цель:научиться выполнять преобразования и находить значения выражений, содержащих корни n -й степени.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 5.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения корня n-й степени;

- извлечение корня из произведения и частного;

- извлечение корня из корня;

- возведение корня в степень.

Краткая теоретическая справка

Корнем n-й степени из числа называется такое число, n-я степень которого равна .

Обозначается , где - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (; ).

По определению , если или .

Основные свойства арифметического корня n -й степени

1) Корень из произведения:

,

где .

2) Корень из дроби:

,

где .

3) Возведение корня в степень:

,

где .

4) Извлечение корня из корня:

,

где .

5) Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства корня из произведения и из частного.

2. Вычислить, используя свойства извлечения корня из корня.

3. Преобразовать и найти значение выражения с применением свойства возведения корня в степень.

4. Решить уравнение.

 

Для аудиторной работы

 

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

Для самостоятельной работы

 

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б)

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-4.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n -й степени из действительного числа?

2. Может ли корень четной степени из положительного числа быть отрицательным?

3. При каком условии можно извлечь корень n-й степени из отрицательного числа?

4. Как называется корень n -й степени, если n=2, n=3?

5. Свойства корня n -й степени.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 6

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни

Цель:научиться применять свойства степени и корня для преобразования алгебраических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 6.

Виды самостоятельной работы:

- сравнение выражений;

- вычисление значения выражения с применением свойств степени и корня;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени и корня;

- решение уравнений графическим способом;

- решение уравнений путем введения новой переменной.

Краткая теоретическая справка

Если - обыкновенная дробь () и , то под понимают :

.

Если - обыкновенная дробь () и , то под понимают :

.

Для степени с рациональным показателем справедливы те же свойства, что и для степени с целым показателем.

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^{r + s} .

2. a^r: a^s = a^{r – s} .

3. (a^r) ^s = a^rs.

4. (ab) ^r = a^r · b^r.

5. .

Практические задания

1. Расположить числа в порядке возрастания.

2. Найти значение выражения.

3. Упростить выражение.

Для аудиторной работы

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Вариант 2

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Вариант 3

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

 

Вариант 4

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n -й степени из действительного числа?

2. Свойства корня n -й степени.

3. Что понимают под , где n – натуральное число?

4. Что понимают под степенью с дробным показателем?

5. Что понимают под , где ?

6. Свойства степени с действительным показателем.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 7

Практическая работа № 8

Практическая работа № 9

Вычисления логарифма числа

С произвольным основанием

Цель:научиться вычислять логарифмы чисел с произвольным основанием через десятичные и натуральные логарифмы с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 9.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение значения десятичного и натурального логарифмов с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов;

- вычисление логарифма числа с произвольным основанием с помощью выражения его через десятичный или натуральный логарифмы;

- вычисление значения логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов.

Краткая теоретическая справка

С целью вычисления логарифмов чисел составлены специальные таблицы – таблицы логарифмов. Логарифмы можно вычислять и с помощью микрокалькуляторов. Но в обоих случаях находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b вместо .

Для того, чтобы вычислить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения десятичных или натуральных логарифмов и формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

,

где .

Практические задания

1. Вычислить значения десятичных и натуральных логарифмов с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.

2. Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить с точностью до 0,01.

3. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить с точностью до 0,01.

4. Преобразовать логарифмическое выражение, представив его в виде , а затем выразить получившийся логарифм сначала через десятичный, затем через натуральный, и сравнить значения вычислений.

 

Для аудиторной работы

 

1.а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

 

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Какой логарифм называют десятичным? Как его обозначают?

3. Чему равно основание натурального логарифма? Как обозначают натуральный логарифм?

4. Как можно вычислить логарифм данного числа по произвольному основанию?

5. Какие свойства логарифмов вы использовали при выполнении практических заданий?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

 

Практическая работа № 10

Преобразование и вычисление значений показательных и логарифмических выражений.

Цель:научиться выполнять преобразования показательных и логарифмических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 10.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение значения выражения, содержащего логарифмы;

- вычисление значения логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов;

- применение формулы перехода от логарифма одного основания к логарифму другого основания.

Краткая теоретическая справка

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b вместо .

Для того, чтобы вычислить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения десятичных или натуральных логарифмов и формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

,

где .

Практические задания

1. Вычислить значение выражения.

2. Найдите число х по его логарифму.

3. Вычислите, применяя формулу перехода к новому основанию.

4. Примените формулу перехода к новому основанию.

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) ; г)

2. а) б)

3. а) б)

4.

Для самостоятельной работы.

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; г)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-4.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Какие свойства логарифмов вы использовали при выполнении практических заданий?

3. Какой логарифм называется десятичным?

4. Какой логарифм называется натуральным?

5. Запишите формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 11

Уравнений

Цель:научиться решать простейшие показательные и логарифмические уравнения.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 11.

Виды самостоятельной работы:

- решение показательных уравнений;

- решение логарифмических уравнений.

Краткая теоретическая справка

Показательными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится только в показателе степени.

Решение показательных уравнений обычно сводится к решению уравнения , где x – неизвестное. Данное уравнение имеет единственный корень x = b согласно теореме:

Теорема. Если и , то x₁ = x_{2 .}

 

Логарифмическими уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится только под знаком логарифма (в частности, в основании).

Теорема. Если f(x)>0, g(x)>0, то логарифмическое уравнение (где ) равносильно уравнению f(x) = g(x).

На практике данную теорему применяют так: переходят от уравнения к уравнению f(x) = g(x) (потенцируют), решают уравнение f(x) = g(x), а затем проверяют его корни по условиям f(x)>0, g(x)>0, определяющимобласть допустимых значений переменной.

 

Практические задания

1. Решить показательные уравнения.

2. Решить логарифмические уравнения.

 

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Для самостоятельной работы.

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

 

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж)