Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-11-18 | 372 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Закон Гука для линейного напряженного состояния. Вспомним курс сопротивления материалов.
Пусть стержень растягивается вдоль своей оси х напряжениями sx=s.(рис.Р1)
Рис. Р1
Относительное удлиннение eх = (продольная деформация) пропорционально напряжению s = sх:
eх = или sх = Еeх. (Р1)
Коэффициент пропорциональности Е называют модулем упругости или модулем Юнга.
Относительные удлиннения в любом из перпендикулярных направлений ey = ez = (поперечные деформации) тоже пропорциональны напряжениям, следовательно, пропорциональны деформации eх. Пишут так:
ey = ez = - m ex = , (P2)
где m - коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона. Из (Р2) следует:
m = (Р2-а)
Коэффициент Пуассона - это взятое с обратным знаком отношение поперечной деформации к продольной при осевом растяжнии стержня. Знак минус в формуле (Р2) поставлен потому, что при растяжении стержня продольная деформация eх положительна (длина стержня увеличивается), а поперечные деформации ey = ez – отрицательны (поперечные размеры сокращаются). Коэффициент m в при такой постановке оказывается положительным.
Закон Гука для произвольного напряженного состояния в главных осях тензора напряжений. Теперь построим соотношения для произвольного напряженного состояния, заданного главными напряжениями. Пусть главные оси 1, 2, 3 совпадают с координатными осями x, y, z. (рис.P1).
Рис.Р2.
Произвольное напряженное состояние, характеризуемое тремя главными напряжениями (а) может быть представлено как сумма трех состояний (б)+(в)+(г), каждое из которых является одноосным растяжением в направлении соответствующей оси. Относительные удлинения вдоль осей 1, 2, 3 в каждом из частных случаев б, в, г определятся по формулам (р1) и (р2).
|
- случай (б): e1 = , e2 = , e3 = ,
- случай (в): e1 = , e2 = , e3 = , (Р3)
- случай (г): e1 = , e2 = , e3 = ,
В соответствии с принципом суперпозиции при одновременном действии напряжений s1, s2, и s3 каждая из компонент деформаций равна сумме ее значений при действии каждого напряжения в отдельности. Просуммировав (по столбцам) результаты (Р3), получим:
e1 = = ,
e2 = + = , (Р4)
e3 = + = .
Из симметрии напряжений и свойств материала следует, что деформации сдвига между главными осями равны нулю, следовательно для изотропного материала главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают, эти тензоры соосны.
Закон Гука припроизвольном напряженном состоянии в произвольных координатны осях. Пусть произвольные оси x, y, z наклонены к главным осям 1, 2, 3 под углами, косинусы которых образуют матрицу (L):
(L) = (P5)
При повороте осей компоненты напряжений преобразуются по формулам (9-а) главы 1. Поскольку исходные оси 1, 2, 3 главные, эти формулы принимают вид:
sx =
sy = (Р6)
sz = ,
txy =
tyz =............
tzх =............
Компоненты тензора деформаций преобразуются по аналогичному закону:
ex =
ey = (Р7)
ez = ,
1/2 g xy =
1/2 g yz =............
1/2 g zх =............
Задача состоит в том, чтобы выразить компоненты деформаций ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx через напряжения sx,sy,sz,txy,tyz,tzx.
В первую формулу из (Р7) подставим значения главных деформаций из (Р4):
ex = =
К множителю при m в фигурной скобке добавим ±s1l2 ± s2m2 ± s3n2, получим:
ex =
Учитывая, что
s1+s2+s3 = sx + sy + sz, (это первый инвариант тензора напряжений),
l12+m12+n12 = 1,
= sx (первая формула из (Р6)), получим:
ex = ,
Аналогично получаются формулы для двух других линейных деформаций ey и ez.
Теперь определим деформацию сдвига из четвертой формулы (Р7):
g xy =2() =
(К выражению в фигурной скобке добавлено ±s1l1l2 ± s2m1m2 ± s3n1n2). Учитывая, что из (Р7-4) следует
) = txy ,
а из ортогональности новых координатных осей: , получим:
g xy , (Р8)
где G = (Р9)
Упругая постоянная материала G называется модулем сдвига или модулем упругости при сдвиге. Модуль сдвига связывает деформацию сдвига g с касательным напряжением t,которое ее вызывает.
|
Аналогично получаются выражения для деформаций g yz и g zx. Полностью система уравнений закона Гука в произвольных осях имеет вид:
ex = g xy =
ey = g yz = (P10)
ez = g zx =
Дальше не закончено.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!