Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-17 | 347 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Совокупность решений однородной системы (2), определенный и линейно независимыми в интервале , называется фундаментальной системой решений в интервале .
Кратко, , , (19).
Теорема:
Система (2) всегда имеет ФСР в области непрерывности коэффициентов системы.
Возьмём и построим решений
,
,
… (20)
,
со следующими начальными условиями:
, ,…, , при
, ,…, , при
…… (21)
, ,…, , при
Вронскиан решений (20) в точке равен единице.
Следовательно, совокупность решений (20) линейно независима и является ФСР.
Из доказательства теоремы следует, что фундаментальных систем существует бесконечное множество. Построенная фундаментальная система (21) называется нормированной в точке . Для каждой точки существует только одна нормированная в этой точке ФСР.
Построение общего решения.
Знание ФСР даёт возможность построения общего решения системы (2).
Основная теорема:
Если , , есть фундаментальная система решений в интервале , то формулы , (22), где
произвольные постоянные, дают общее решение системы в области , , .
Действительно, система (22) разрешима относительно , так как , кроме этого совокупность функций (22) является решением системы (2), что соответствует определению общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условиям при нужно подставить эти условия в систему (22).
, (230
находим , откуда следует, что , (24) – есть искомое решение.
Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную ФСР.
Дано , ; (25)
Подставляем поочерёдно решения (25) в ое уравнение системы (2)
, ,
получим
, , (26)
Отсюда определяются все , единственным образом.
|
Эту систему можно записать:
(27)
Пример:
,
,
, ,
,
Общее решение неоднородной системы.
Теперь рассмотрим неоднородную систему (1): , . (1)
Введём новые функции :
, (28), где - решение неоднородной системы (1).
Подставляя (28) в систему (1), получаем: , (29)
Или, учитывая, что - решение неоднородной системы (1), получаем:
, (30)
(30) – есть однородная система, соответствующая системе (1), общее решение которой имеет вид: , (31)
Таким образом, подставляя (31) в (28) получаем:
, (32)
Это формула есть общее решение системы (1) во всей области задания системы.
26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Теорема:
Если известна ФСР однородной системы (2), то общее решение неоднородной системы (1) может быть найдено при помощи квадратур.
Будем искать решение неоднородной системы (1) в виде:
, (33)
где ФСР однородной системы (2), а неизвестная непрерывно дифференцируемая функция.
Подставим (33) в (1), получаем:
или
или
, (34)
Решая систему (34), определитель которой в интервале , получаем
,
, (35)
Подставляя (35) в выражение (33) получаем
, (35)
Пример:
Решая соответствующую однородную систему, получаем:
ЛЕКЦИЯ 9:
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!