Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-17 | 343 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Решить уравнение (1), здесь , при условии
(2).
Функции a(t), b(t) и f(t) – определены и непрерывны на отрезке .
- постоянные.
Условия (2) называются краевыми или граничными условиями, а сама задача (1),(2) – краевой задачей. Для краевой задачи (1),(2) может иметь место любой из трёх возможных вариантов решений:
Пример. , - общее решение.
Рассмотрим следующие три краевые задачи с граничными условиями:
1. .
2. .
3. .
В случае 1. имеем единственное решение ; .
В случае 2. решения нет.
В случае 3. бесконечное число решений .
Рассмотрим два способа решения задачи (1),(2), причём будем предполагать, что решение этой задачи существует и единственно.
Ι. Метод “стрельбы”.
Пусть - частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
(3).
- произвольное число, а y0(t) – решение соответствующего однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям , , - произвольное число.
Тогда при любом с функция (5) - решение уравнения (1), удовлетворяющее первому из условий (2).
Число с выбираем так, чтобы (5) удовлетворяло второму из условий (2).
(6).
, ибо в противном случае краевая задача (1),(2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
При численном решении краевой задачи метод “стрельбы” имеет существенный недостаток. Ошибка вычисления решения x(t): может быть очень большой за счёт слагаемого .
ΙΙ. Решение однородной краевой задачи с помощью функции Грина.
(1),
(7), где .
Будем предполагать, что рассматриваемая краевая задача имеет единственное решение.
Пусть x = x1(t) – ненулевое решение однородного уравнения , удовлетворяющее первому из условий (7), а x2(t) – ненулевое решение, удовлетворяющее второму условию (7). Причём x1(t) и x2(t) линейно независимые решения. Тогда
|
(8).
Решение уравнения (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных.
(9).
Для определения функций и получим следующую систему:
(10).
Решая систему (10), получим (11), где . Интегрируя (11), получим:
, где и - постоянные.
(12).
Продифференцируем (12) по t, получим (13).
Потребуем, чтобы (12) удовлетворяло первому из условий (7), получим =0. Аналогично, подставляя (12) во второе условие (7), получим =0.
Итак, (14) или (15),
где или (16)
построенная функция G(t,s) называется функцией Грина краевой задачи. Сама функция Грина от f(t) не зависит.
Функция Грина обладает следующими свойствами:
1) при : G(t,s) удовлетворяет однородному уравнению
2) при t=t0 и t=t1: G(t,s) удовлетворяет соответственно первому и второму граничным условиям
3) при t=s: G(t,s) – непрерывна
4) при t=s: производная имеет скачёк, равный 1: │ ─ │ =1.
Свойства 1-3 просто проверяются подстановкой. Докажем свойство 4.
; │ ─ │ = =1.
Построим функцию Грина для краевой задачи .
- общее решение однородного уравнения
- удовлетворяет первому граничному условию.
- удовлетворяет второму граничному условию.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!