Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-17 | 327 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(1)
и непрерывны в интервале (a,b).
Введем новую неизвестную функцию z по формуле y = y1 + z, где у1 – частное решение уравнения (1), т.е.
Þ (2)
Общее решение уравнения (2) даётся формулой:
, где z1, z2, …, zn – ФСР уравнения (2),
а C1, C2, …, Cn – произвольные постоянные.
Таким образом,
(3)
Эта формула представляет общее решение уравнения (1) в области (a,b), |y|<¥, |y/|<¥, …, |y(n-1)|<¥.
Замечание 1:
Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму n слагаемых, т.е. , и если для i=1,2..n, то y = y1 + y2 +…+ yn есть частное решение уравнения
.
Замечание 2:
Если известно m частных решений неоднородного уравнения (1)
y1, y2,…, ym, то соответствующее однородное уравнение имеет m-1 частных решений zk = yk – y1, k=2,3…m. Если эти решения линейно независимы в (a,b), то порядок соответствующего однородного уравнения можно понизить на m-1 единиц.
10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Теорема:
Общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2)
Будем искать общее решение уравнения (1) в виде (3), где {zi} i=1,2..n – ФСР уравнения (2).
Найдём производные выражения (3), подчиняя их n-1 условиям:
, второе слагаемое равно нулю,
, второе слагаемое равно нулю,
…… (4)
, второе слагаемое равно нулю,
Подставляя (3) и (4) в уравнение (1), получим:
(5)
Так как , то окончательно получим
(6)
Итак, для определения Сi(x) получаем следующую систему из n дифференциальных уравнений:
,
,
…… (7)
Система (7) является линейной неоднородной относительно Сi / (x) с определителем равным W(x)¹0 в интервале (a,b).
Решая систему (4) по правилу Крамера получаем:
|
, i=1,2…n; (8)
где Wn i – алгебраические дополнения к элементам n–ой строки определителя W(x).
Из , i=1,2…n; (9)
где Ci– произвольные постоянные, а " x0 Î (a,b).
Подставляем (9) в выражение (3), получим:
, (10)
Пример:
– общее решение однородного уравнения.
Решение неоднородного уравнения ищем в виде:
Составим систему для нахождения и :
Þ ,
.
.
Метод Коши.
Укажем ещё один способ построения частного решения уравнения (1).
Пусть {zi} i=1,2..n – ФСР уравнения L[y]=0 (2)
(3) – общее решение уравнения (2).
Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее следующим начальным условиям:
z = 0, z/ = 0, …, z(n-2) =0, z(n-1) =1 при x = a, где "aÎ(a,b), xÎ(a,b).
Это решение (5)
Причём , , …, , ,
где , (6)
Докажем, что функция
, (7)
где " x0 Î (a,b).
является частным решением уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т.е. Y = 0, Y/ = 0, …, Y(n-1) =0, при x = x0.
Найдём значения производных функции Y(x):
, первое слагаемое = 0,
, первое слагаемое = 0, …… (8)
, первое слагаемое = 0,
и ,
Подставим выражение (8) в уравнение (1):
+……
…+ (9)
или
,
Получим тождество для " x, x0 Î(a,b).
Итак, , x Î(a,b).
(7) –называется формулой Коши для неодноролного уравнения.
Очевидно, что Y(x0) = 0, Y/ (x0)= 0, …, Y(n-1) (x0)=0.
Таким образом .
Пример:
– общее решение однородного уравнения.
Найдём j (x,a)
z=0, z/=1 при x = a.
Þ
– oбщeе решение неоднородного уравнения.
ЛЕКЦИЯ 4:
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!