По курсу «математика» (первый семестр)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)

Тула 2012

 

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,

протокол № 11 от "21" июня 2011 г.

 

Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Задача 1.

Теоретические сведения.

В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами: (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1.

 

Расстояние между двумя точками и определяется по формуле

. (1)

При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:

1) если точка М(x; y) делит отрезок М₁М₂ (М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами

, , (2)

если же точка М(x; y) - середина отрезка М₁М₂, то

, ; (3)

2) уравнение прямой, проходящей через точку М₁(x₁; y₁) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде

; (4)

3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂), имеет вид

, при этом ; (5)

4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется по формуле

, (6)

при этом условие параллельности прямых имеет вид k₁=k₂, а условие перпендикулярности ; (7)

5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то - ее угловой коэффициент;

6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на , получим уравнение прямой в отрезках:

, где , ; (8)

7) точка пересечения двух прямых А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0 определяется из решения системы уравнений

. (9)

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид
. (10)

Пример выполнения задания.

Даны вершины треугольника АВС: А (– 4;8), В (5; – 4), С (10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр.

 

Решение:

1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим ), тогда

.

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):

Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

, , ,

, или (АВ).

Для нахождения углового коэффициента k_AB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: . Отсюда . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: , , ,

 

или x + 7y – 52 = 0 (AC).

 

Отсюда .

3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее , .

,

рад.

4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому

.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты СD:

, , (CD).

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

, откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

.

 

5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:

, .

Следовательно, Е (6; 3) и . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)²+(y – 3)² = 25.

Задача 2.

Теоретические сведения.

Если известны начало вектора и конец , то координаты вектора находятся по формулам

, , , (11)

а его длина определяется выражением

. (12)

Вектор с координатами может быть представлен разложением по ортам в виде

. (13)

Если α, β, γ – углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения

, , , .

Для векторов и вводятся операции с ложения и умножения на число такие, что
и ,

где − любое число.

Рисунок 2.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, или, если векторы заданы своими координатами, то

. (14)

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:

. (15)

Если векторы и взаимно перпендикулярны, то . Угол между векторами и определяется соотношением:

. (16)

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (17)

 

Пример выполнения задания.

Даны координаты трех точек: А (3; 0; –5), В (6; 2; 1), С (12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

 

Решение:

1) Найдем координаты вектора , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):

.

Подобным образом

.

Модули векторов и найдем, подставляя их координаты в формулу (12):

, .

 

2) Найдем косинус угла φ между векторами и . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):

.

Тогда по формуле (16)

 

, φ ≈ 64^˚37΄ ≈1,13 рад.

 

3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х₀= 12, у₀= −12, z₀= 3, получим:

3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,

или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскости.

 

Задача 3.

Теоретические сведения.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условием компланарности трех векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:

. (18)

Три вектора образуют базис в том случае, если они некомпланарны.

Если для векторов выполняется условие , то они образуют базис, и любой четвертый вектор может быть представлен разложением по этому базису в виде

, (19)

где α, β, γ – координаты вектора в базисе, образованном векторами .

Координаты α, β, γ находятся из системы уравнений:

. (20)

 

Пример выполнения задания.

Показать, что векторы (3; 1; 4), (2; 1; –1), (1; –1; 5) образуют базис трехмерного пространства. Найти координаты вектора (5; 0; 3) в этом базисе.

 

Решение:

Вычислим смешанное произведение векторов :

.

Так как смешанное произведение отлично от нуля, то векторы некомпланарны и образуют базис. Координаты вектора в этом базисе найдем, разложив его по векторам следующим образом:

,

а координаты вектора в новом базисе найдем из системы уравнений (20)

или

Решим эту систему для заданных векторов методом Гаусса.

Поменяем местами первое и второе уравнения

.

После этого умножим первое уравнение на (–3) и сложим со вторым. Далее умножим первое уравнение на (–4) и сложим с третьим. Получим:

.

 

Затем умножаем второе уравнение на (−5) и складываем с третьим:

 

.

 

Из последнего уравнения имеем γ= 2. Подставляем это значение во второе уравнение, получаем β= 3 и, наконец, из первого уравнения находим α= –1.

Таким образом, подставив в уравнение (19) координаты вектора , получим

.

 

Задача 4.

Теоретические сведения.

Неоднородная система трех уравнений с тремя неизвестными в общем случае имеет вид

и может быть записана в матричном виде

А · Х = Н, (21)

где -матрица коэффициентов при неизвестных,

- матрица-столбец неизвестных,

матрица-столбец свободных членов.

Если матрица А – невырожденная, то есть имеет определитель, отличный от нуля, то существует матрица А^-1, обратная к А, так что А^-1·А = Е (Е - единичная матрица). Умножим обе части уравнения (22) на А^-1 и получим

А^-1·А·Х = А^-1· Н,

или

Х = А^-1· Н, (23)

поскольку А^-1·А·Х = Е·Х=Х.

Равенство (23) является решением системы уравнений (22).

Матрица, обратная к невырожденной матрице А, находится по формуле

, (24)

где А_іј (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента а_ij, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиваем i -й строки и j -го столбца в определителе матрицы А; Δ – определитель матрицы А.

Пример выполнения задания.

Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

 

Решение:

Выпишем для данной системы уравнений матрицу коэффициентов при неизвестных А и столбец свободных членов Н:

, .

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения А_іј элементов матрицы А:

,

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А ^-1.

, ,

 

 

 

Тогда по формуле (24) обратная матрица равна

.

 

По формуле (23) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

.

Отсюда х₁= 3, х₂= 0, х₃= −2.

Задача 5.

Теоретические сведения.

Число A называют пределом функции y=f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого e > 0 найдется такое d > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :

Вычисление пределов арифметических выражений по пределам функций , из которых они составлены, не всегда возможно. В этих случаях говорят, что возникают неопределенности следующих видов:

.

Для нахождения пределов таких неопределенных выражений нужно

учитывать конкретный вид функции Например,

; (25)

предел отношения двух многочленов ;

первый замечательный предел ; (26)

второй замечательный предел . (27)

Величина называется бесконечно малой при , если . Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1, то есть , если . Под знаком предела любая бесконечно малая величина может быть заменена на эквивалентную ей. Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых при величин:

, , ,

, , . (28)

 

Пример выполнения задания.

Вычислить пределы: а) , б) , в) ,г) .

 

Решение:

а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х→ −3:

.

б) При х → ∞ выражение дает неопределенность вида (∞ − ∞). Для ее устранения умножим и разделим это выражение на , после чего разделим числитель и знаменатель полученной дроби на х, учитывая формулу (25):

.

в) При получим неопределенность . Обозначим arctg5x = y. Тогда 5х=tgy и y → 0 при х → 0. Применяя свойства пределов и формулу (26), имеем:

.

 

Эту задачу можно решить, используя эквивалентные замены бесконечно малых величин (28). Поскольку при эквивалентны , можно записать

.

г) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой (при х → ∞) величины; после чего применим формулу второго замечательного предела (27):

.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Основная литература

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов / Д.В.Беклемишев.— 9-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2002.— 376с.

2. Ильин В.А., Аналитическая геометрия: учебник для вузов / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк.— 6-е изд.,стер. — М.: Физматлит, 2002.— 240с.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для втузов / под ред. Н.В.Ефимова.— 17-е изд., стер. — СПб.: Профессия, 2004.— 200с.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты: учеб. пособие / Л. А. Кузнецов.— 9-е изд., стер.— СПб. [и др.]: Лань, 2007.— 240 с.

5. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: учеб. пособие для вузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович.— 14-е изд., стер. — СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008.— 736 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)

Тула 2012

 

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,

протокол № 11 от "21" июня 2011 г.

 

Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Задача 1.

Теоретические сведения.

В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами: (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1.

 

Расстояние между двумя точками и определяется по формуле

. (1)

При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:

1) если точка М(x; y) делит отрезок М₁М₂ (М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами

, , (2)

если же точка М(x; y) - середина отрезка М₁М₂, то

, ; (3)

2) уравнение прямой, проходящей через точку М₁(x₁; y₁) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде

; (4)

3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂), имеет вид

, при этом ; (5)

4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется по формуле

, (6)

при этом условие параллельности прямых имеет вид k₁=k₂, а условие перпендикулярности ; (7)

5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то - ее угловой коэффициент;

6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на , получим уравнение прямой в отрезках:

, где , ; (8)

7) точка пересечения двух прямых А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0 определяется из решения системы уравнений

. (9)

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид
. (10)

Пример выполнения задания.

Даны вершины треугольника АВС: А (– 4;8), В (5; – 4), С (10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр.

 

Решение:

1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим ), тогда

.

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):

Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

, , ,

, или (АВ).

Для нахождения углового коэффициента k_AB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: . Отсюда . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: , , ,

 

или x + 7y – 52 = 0 (AC).

 

Отсюда .

3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее , .

,

рад.

4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому

.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты СD:

, , (CD).

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

, откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

.

 

5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:

, .

Следовательно, Е (6; 3) и . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)²+(y – 3)² = 25.

Задача 2.

Теоретические сведения.

Если известны начало вектора и конец , то координаты вектора находятся по формулам

, , , (11)

а его длина определяется выражением

. (12)

Вектор с координатами может быть представлен разложением по ортам в виде

. (13)

Если α, β, γ – углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения

, , , .

Для векторов и вводятся операции с ложения и умножения на число такие, что
и ,

где − любое число.

Рисунок 2.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, или, если векторы заданы своими координатами, то

. (14)

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:

. (15)

Если векторы и взаимно перпендикулярны, то . Угол между векторами и определяется соотношением:

. (16)

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (17)

 

Пример выполнения задания.

Даны координаты трех точек: А (3; 0; –5), В (6; 2; 1), С (12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

 

Решение:

1) Найдем координаты вектора , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):

.

Подобным образом

.

Модули векторов и найдем, подставляя их координаты в формулу (12):

, .

 

2) Найдем косинус угла φ между векторами и . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):

.

Тогда по формуле (16)

 

, φ ≈ 64^˚37΄ ≈1,13 рад.

 

3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х₀= 12, у₀= −12, z₀= 3, получим:

3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,

или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскост