Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-10-16 | 389 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов уровня ССО заочной формы обучения
всех специальностей
Минск 2006
Составитель Н.Н. Чемерко
Рецензент Т.К. Гресюк
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
20 марта 2006 г., протокол №8
Зав. кафедрой Л.Л. Гладков
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Комплексным числом называется выражение вида
,
где и - действительные числа,
- мнимая единица.
Число называется действительной частью комплексного числа, а число - мнимой частью.
Комплексное число обозначается буквой , множество комплексных чисел обозначается буквой . Квадрат мнимой единицы равен , то есть .
Запись комплексного числа называется алгебраической формой.
Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части, то есть
и
, если и .
Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.
Число вида называется нулем.
Число вида отождествляется с действительным числом , то есть .
Комплексное число называется чисто мнимым и обозначается , то есть .
Комплексные числа и называются сопряженными.
Произведение комплексных множителей имеет вид
.
Сумма
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число
.
Произведение
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число
.
Выведем данную формулу
, то есть используем правило произведения многочлена на многочлен и заменяем .
Вычитание
Вычитание вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.
|
Правила вычитания и деления комплексных чисел и определяется формулами
,
,
где .
Докажем данную формулу. Для этого числитель и знаменатель умножим на число, сопряженное знаменателю и учитываем, что
.
Формулы, определяющие правила действия над комплексными числами в алгебраической форме, не нуждаются в запоминании.
Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел получаются автоматически, если формально выполнить соответствующие действия на двучленами и и заменить .
Деление
При делении комплексных чисел достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на .
Возведение в степень
Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведение двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что
; ; ; .
Умножение
При умножении комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме модули их перемножаются, а аргументы складываются
Пример 2.4
Деление
Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются
Пример 2.5
; .
;
ЛИТЕРАТУРА
1 Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1980. – Гл. 10. – ÍÍ1-9.
2 Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991. – Гл. 2. – ÍÍ2-8.
3 Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть II. – М.: Наука, 1981. – Гл. 1. – ÍÍ1-3.
СОДЕРЖАНИЕ
1 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. 3
1.1 Сумма. 3
1.2 Произведение. 3
1.3 Вычитание. 4
1.4 Деление. 4
1.5 Возведение в степень. 4
1.6 Геометрическая интерпретация комплексного числа. 5
1.7 Поворот вектора комплексного числа. 5
Задание для самостоятельной работы. 7
2 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ. 8
2.1 Умножение. 10
2.2 Деление. 10
2.3 Возведение комплексного числа в степень. 11
|
2.4 Корень n-ой степени из комплексного числа. 11
2.5 Переход от показательной и тригонометрической формы в алгебраическую 12
Решение примеров. 12
Задание для самостоятельной работы. 14
Литература……………………………………………………………………………………..15
План 2005/2006, поз.
Чемерко Нина Николаевна
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов уровня ССО заочной формы обучения
всех специальностей
Редактор Н.В. Вердыш
Подписано к печати ___________
Формат 60х84/16
Усл. печ. л ___, уч.-изд. л. ___
Тираж ___ экз. Заказ ____
Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
220114, г. Минск, ул. Ф. Скорины 8, к. 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов уровня ССО заочной формы обучения
всех специальностей
Минск 2006
Составитель Н.Н. Чемерко
Рецензент Т.К. Гресюк
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
20 марта 2006 г., протокол №8
Зав. кафедрой Л.Л. Гладков
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Комплексным числом называется выражение вида
,
где и - действительные числа,
- мнимая единица.
Число называется действительной частью комплексного числа, а число - мнимой частью.
Комплексное число обозначается буквой , множество комплексных чисел обозначается буквой . Квадрат мнимой единицы равен , то есть .
Запись комплексного числа называется алгебраической формой.
Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части, то есть
и
, если и .
Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.
Число вида называется нулем.
Число вида отождествляется с действительным числом , то есть .
Комплексное число называется чисто мнимым и обозначается , то есть .
Комплексные числа и называются сопряженными.
Произведение комплексных множителей имеет вид
.
Сумма
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число
.
Произведение
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число
.
Выведем данную формулу
, то есть используем правило произведения многочлена на многочлен и заменяем .
|
Вычитание
Вычитание вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.
Правила вычитания и деления комплексных чисел и определяется формулами
,
,
где .
Докажем данную формулу. Для этого числитель и знаменатель умножим на число, сопряженное знаменателю и учитываем, что
.
Формулы, определяющие правила действия над комплексными числами в алгебраической форме, не нуждаются в запоминании.
Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел получаются автоматически, если формально выполнить соответствующие действия на двучленами и и заменить .
Деление
При делении комплексных чисел достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на .
Возведение в степень
Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведение двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что
; ; ; .
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!