Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-16 | 415 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Функция F называется первообразной для функции f на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка существует производная F'(х), равная , т. е. . (3.1)
Пример 3.1. Найти первообразную для функции .
Решение. Функция есть первообразная для функции на промежутке , так как для всех .
Но функции также имеют производную, равную поэтому и все эти функции являются первообразными для функции на множестве R.
К выражению можно прибавить любую постоянную С. Поэтому решение задачи нахождения первообразной не единственно и, если решения существуют, то их бесконечно много.
Множество первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом и обозначается , (3.2).
где - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования; С - константа.
Пример 3.2. Найти неопределенный интеграл .
Решение
Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.
Неопределенные интегралы элементарных функций
Свойства неопределенных интегралов:
1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
(3.3)
2. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:
(3.4)
3. Вид интеграла не зависит от вида переменной интегрирования:
. (3.5)
или, что тоже самое,
,
где - функция, непрерывная вместе со своей производной.
4. Имеет место следующее равенство:
(3.6)
Методы интегрирования
I. Непосредственное интегрирование.
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример 3.3. Найти
Решение. Воспользуемся свойством 2. интеграла: интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих же функций.
Пример 3.4. Найти
Решение. Приведем интеграл к табличному виду. Для этого раскроем скобки в числителе и разделим почленно числитель на знаменатель.
Затем воспользуемся указанным выше свойством интеграла суммы (разности) функций:
II. Метод подстановки.
Этот метод называют также методом замены переменной. Использование этого метода основано на свойстве 3 интеграла.
Пример 3.5. Найти
Решение. Введем новую переменную: .
Найдем интеграл:
Выразим результат через первоначальный аргумент:
Пример 3.6. Найти
Решение. Сделаем подстановку Надо определить, чему равен dx. Для этого продифференцируем выражение , в результате чего получим .
Подставим все это в первоначальный интеграл, в результате чего будем иметь:
Выразим результат через первоначальный аргумент:
Этот пример дает возможность сделать следующий общий вывод: .
III. Метод интегрирования по частям.
Использование этого метода основано на свойстве (4) интеграла:
Пример 3.7. Найти .
Решение. Обозначим .
Подставим полученные данные в первоначальное выражение:
Пример 3.8. Найти .
Решение. Интегрируем по частям
Тогда
Пример 3.9. Найти
Решение. Интегрируем по частям
Тогда .
Подставим значение интеграла из примера 3.8, получим
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!