Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-10-11 | 1109 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод решения задачи Коши для бесконечной струны легко применить к случаю полубесконечной струны. Пусть струна находится в состоянии покоя на положительной оси и ее конец, совпадающий с началом координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны
(1.128) |
и начальным условиям
, , | (1.129) |
заданным при , необходимо добавить еще одно граничное условие
. | (1.130) |
Из условий (1.129), (1.130) следует, что .
Решение уравнения (1.128) при условиях (1.129), (1.130) может быть получено из формулы Даламбера (1.126) следующим образом. Допустим, что функции и , определенные сначала только для , доопределены нами произвольным образом и для . Напишем выражение :
. | (1.131) |
Чтобы было равно нулю при всех значениях , нужно функции и при определить так:
, ,
т.е. функции продолжить в область отрицательных значений нечетным образом. Тогда, очевидно, первое слагаемое формулы (1.131) равно нулю; второе слагаемое также обращается в нуль, потому что берется интеграл от нечетной функции в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив таким образом функции и на всю числовую ось, напишем формулу Даламбера:
. | (1.132) |
Теперь это выражение определено для всех точек и и при дает решение поставленной задачи. Действительно, функция (1.132) удовлетворяет уравнению (1.128), условиям (1.129) и, в силу доказанного, граничному условию (1.130).
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены , уравнение
|
(2.73) |
преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение
,
где и - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций и , т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным и , то общее решение примет вид
.
Здесь характеризует прямую волну (кривая смещается вправо со скоростью ), а - обратную волну (кривая смещается влево со скоростью ).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны , то по заданным начальным условиям
, | (2.74) |
определяются функции и , и искомое решение имеет вид
. | (2.75) |
Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.
В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то
,
откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.
В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке )
(2.76) |
для закрепленной в точке струны,
(2.77) |
для свободного конца в точке ,
.
для упругого закрепления в точке .
В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают , , и четным образом для условия (2.77), т.е. , .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением , в момент времени , , если заданы начальные смещения и скорости:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. По постановке вопроса надо найти решение задачи Коши (2.73), (2.74) в области: , . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).
|
Случай а). Полагая в формуле Даламбера , , найдем смещение в любой точке и любой момент :
Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:
, .
Кривые изображены на рис. 2.3.
Случай б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. . При колебательный процесс будет описан по формуле
В момент времени струна имеет форму косинусоиды: , а в момент она совпадает с осью абсцисс: .
Случай в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, . Тогда имеем
Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:
, .
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!