Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-10-11 | 372 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения систем с трехдиагональной матрицей.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Наиболее важным частным случаем метода Гаусса является метод прогонки, применяемый к системам с трехдиагональной матрицей.
Трехдиагональной называется матрица, у которой ненулевые элементы имеются только на главной диагонали и на примыкающих к ней диагоналях, т.е. при . Такие системы часто встречаются при решении краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.
Системы с трехдиагональной матрицей обычно записываются в каноническом виде:
Формула (1) называется разностным уравнением второго порядка или трехточечным уравнением. В этом случае прямой ход без выбора главного элемента сводится к исключению элементов . Получается треугольная система, содержащая в каждом уравнении только два неизвестных и . Поэтому формулы обратного хода имеют следующий вид:
Уменьшим в (2) индекс на единицу и подставим в уравнение (1). Получим
Отсюда имеем
Сравнивая выражения (2) и (3), получаем
Формулы (4) - это формулы прямого хода.
Для проведения расчета формально требуется задать величины и , которые неизвестны. Однако перед величинами и в формуле (4) стоит коэффициент . Поэтому можно начать вычисления, полагая, например, . В формуле (2) перед стоит множитель , который на основании первой из формул (4) равен нулю, т.к. . Поэтому можем положить, например, .
Таким образом, для решения системы (1) выполняется сначала прямой, а затем обратный ход по формулам (4) и (2). Если выполнено условие преобладания диагональных элементов:
причем хотя бы для одного имеет место неравенство, то в формулах прямого хода (4) не возникает деления на нуль, и тем самым система (1) имеет единственное решение.
|
При выполнении условия (5) формулы прогонки устойчивы относительно ошибок округления и позволяют успешно решать системы уравнений с несколькими сотнями неизвестных.
Условие (5) является достаточным, но не необходимым условием устойчивости прогонки. На практике для хорошо обусловленных систем типа (1) прогонка часто оказывается достаточно устойчивой даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.
III ЗАДАНИЕ
Найти решение системы методом прогонки
где - номер фамилии студента в журнале группы;
- последняя цифра индекс номера группы.
IV. Оформление отчета
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.
Лабораторная работа № 5
НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
МАТРИЦЫ МЕТОДОМ КРЫЛОВА
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков отыскания собственных значений матрицы.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Рассмотрим один из методов развертывания характеристических определителей – метод Крылова.
Характеристический многочлен матрицы A имеет вид
. (1)
Согласно теореме Гамильтона-Кели матрица A обращает в ноль свой характеристический многочлен
. (2)
Возьмем произвольный ненулевой вектор . Умножая равенство (2) на этот вектор, получим
. (3)
Положим
(). (4)
Тогда равенство (3) приобретает вид
, (5)
где ().
Векторное равенство (5) эквивалентно системе уравнений
(). (6)
На основании формулы (4) имеем
Поэтому
(; ). (7)
Таким образом, коэффициенты системы (6) вычисляются по формулам (7). Из системы линейных алгебраических уравнений (6) определяем неизвестные ().
Определив коэффициенты (), получим выражение для характеристического многочлена матрицы A. Теперь можем найти корни характеристического уравнения
|
,
которые являются собственными значениями матрицы A.
III. ЗАДАНИЕ
Построить характеристический многочлен матрицы A. Найти его корни.
Матрица A имеет элементы
где - номер фамилии студента в журнале группы; - последняя цифра номера группы.
IV. Оформление отчета
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1966. 632 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.
Лабораторная работа № 6
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!