Лекция 15. Дробный факторный эксперимент

1).Минимизация числа опытов. Дробные реплики

2).Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

Минимизация числа опытов. Дробные реплики.

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определенных коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Отсюда идея: сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей, сохранив при этом оптимальные свойства матрицы планирования. Пути реализации этой идеи рассмотрим на примере плана ПФЭ типа 2²

Запишем матрицу планирования

№ опыта	X1	X2	X1X2	Y
	-	-	+
	+	-	-
	-	+	-
	+	+	+

 

Этот план позволяет вычислить четыре коэффициента и построить модель в виде неполного квадратного уравнения:

Если имеются основания считать, а что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то можно точно определить три коэффициента: b₀, b₁ и b₂. Остается одна степень cвободы. Употребим ее для сокращения числа опытов. При линейном приближении b₁₂ → 0, тогда вектор столбец X1X2 можно использовать для нового фактора X3. Поставим этот фактор в скобках под столбцом X1X2 и посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов регрессии. Оказывается, и мы это определим в дальнейшем, оценки смешаются следующим образом:

b₁ → β₁ + β₂₃ b₂ → β₂ + β₁₃ b₃ → β₃ + β₁₂

Таким образом, здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые были в полном факторном эксперименте. Но т.к. постулируется линейная модель, то парные взаимодействия незначимы и такое смешение оценок не имеет практического значения. Вместе с тем появилась возможность построить линейную модель для трех факторов, используя всего четыре опыта вместо восьми, предусматриваемых планом ПФЭ 2³. При этом матрица планирования сохранила все свои основные свойства, в чем нетрудно убедится, анализируя вышенаписанную матрицу. Найденное правило сокращения числа опытов можно сформулировать так:

Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора определяется знаками этого столбца.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной ПФЭ 2³

Эксперимент, в котором реализуется определенная часть всех возможных сочетаний уровней факторов, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ), а соответствующая матрица спектра – дробной репликой. Если реализуется половина всех возможных сочетаний уровней, то матрица называется полурепликой, если четвертая часть – четвертьрепликой и т.д. В общем случае можно рассматривать реплики большей дробности.

Для обозначения дробных реплик, в которых Р линейных эффектов приравненых к эффектам взаимодействия, используется обозначения 2^к-р. Например, полуреплика от плана ПФЭ 2³ обозначается 2^3-1, а четвертьреплика ПФЭ 2⁵ – 2^5-2.

 

Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

При построении полуреплики 2^3-1 существуют всего две возможности: приравнять x₃ к “ +x₁x₂ ” или к “ -x₁x₂ ”, как показано в таблице:

Полуреплики 2^3-1

Номер опыта	I) x3=+x1x2	Номер опыта	II) x3=-x1x2
X1	X2	X3	X1X2X3	X1	X2	X3	X1X2X3
	+	+	+	+		+	+	-	-
	-	-	+	+		-	-	-	-
	+	-	-	+		+	-	+	-
	-	+	-	+		-	+	+	-

 

Обе полуреплики равнозначны. Обратим внимание, что для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение +1= x₁x₂x₃, а для матрицы II имеем -1= x₁x₂x₃

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или -1, называется определяющим контрастом.

Определяющий контраст используется для определения системы смешивания оценок. Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, для матрицы I система смешивания будет иметь вид

Для x₁ x₁=x₁²x₂x₃ = x₂x_3, b₁ → β₁ + β₂₃

Для x₂ x₂=x₁x₂² x₃ = x₁x_3, b₂ → β₂ + β₁₃

Для x₃ x₃=x₁x₂x₃² = x₁x_2, b₃ → β₃ + β₁₂

В случае использования матрицы II получим:

b₁ → β₁ - β₂₃ b₂ → β₂ - β₁₃ b₃ → β₃ – β₁₂

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

2^4-1

2³

X₄

X₁ x₂ x₃ x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ x₁x₂ x₃ x₁x₂ x₃ x₁x₂ x₄

1 - - - + + + - - +

2 + - - - - + + - +

3 - + - - + - + - +

4 + + - + - - - - +

5 - - + + - - + + +

6 + - + + - + - + +

7 - + + - - + - + +

8 + + + + + + + + +

+1= x₁x₂x₄

+1= x₁x₃x₄

+1= x₂x₃x₄

+1= x₁x₂x₃x₄

-1= x₁x₂x₄

-1= x₁x₃x₄

-1= x₂x₃x₄

-1= x₁x₂x₃x₄

В данном случае возможны варианты:

1) x₄=x₁x₂

2) x₄=x₁x₃

3) x₄=x₂x₃

4) x₄=x₁x₂x₃

5) x₄= -x₁x₂

6) x₄= -x₁x₃

7) x₄= -x₂x₃

8) x₄= -x₁x₂x₃

Остановимся на 1 и 4 вариантах

Для варианта 1 имеем контраст: +1= x₁x₂x₄

Для варианта 2: +1= x₁x₂x₃x₄

Смешивание оценок для фактора X₁:

Вариант 1: x₁=x₁²x₂x₄ = x₂x_4, b₁ → β₁ + β₂₄

Вариант 2: x₁=x₁²x₂x₃x₄ = x₂x₃x_4, b₁ → β₁ + β₂₃₄

2³ → y = b₀ + b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃ ;

Генерирующие соотношения, как видно, формируются путем умножения обеих частей определяющего контраста на соответствующий фактор x₁=x₂x_3, x₂=x₁x₃ и т.д. Здесь первое выражение есть генерирующее соотношение для фактора x₁, второе для фактора x₂ и так далее. Теперь становится ясно, что в таблице 2.7 матрицы различаются по генерирующим соотношениям для вновь введенного третьего фактора, представлены два возможных варианта выбора. С ростом числа факторов растет и число таких вариантов. Так при выборе полуреплики 2^4-1 возможно восемь решений:

x₄=x₁x₂ x₄=x₂x₃ x₄=x₁x₃ x₄=x₁x₂x₃

x₄=-x₁x₂ x₄=-x₂x₃ x₄=-x₁x₃ x₄=-x₁x₂x₃

Как видно, первые шесть полуреплик имеют по три фактора в определяющем контрасте (+1 = x₁x₂x₄ и т.д.), а две последние по четыре (+1 = x₁x₂x₃x₄, -1= x₁x₂x₃x₄). Это имеет принципиальное значение, т.к. влияет на систему смешивания оценок.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с парными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III- по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте. Также реплики принято обозначать , и т.д.

Следовательно, две последних полуреплики (седьмая и восьмая) 2^4-1 являются репликами с разрешающей способностью IV: . Из всех восьми они имеют наибольшую разрешающую способность и потому называются главными. Они дают такую систему смешивания оценок, при которой линейные эффекты смешаны с эффектами тройного взаимодействия b₁ → β₁ + β₂ β₃ β₄ и т.д. В то время как полуреплики дают смешивание линейных эффектов с парными взаимнодействиями: b₁ → β₁ + β₂ β₄ для первой полуреплики и т.д.

В заключение отменим, что сложение двух полуреплик дает план ПФЭ, когда смешивания оценок нет. Наконец, в тех случаях, когда путем замещения вводятся два и более фактора, для определения системы смешивания оценок используется так называемый обобщенный определяющий контраст.

2^5-2

Например, если x₄=x₁x₂x₃ и x₅=x₂x₃, то имеем исходные контрасты

+1= x₁x₂x₃x₄

+1= x₂x₃x₅

Тогда обобщенный контраст определится как соотношение:

1= x₁x₂x₃x₄ = x₂x₃x₅ = x₁x₄x₅,

Где x₁x₄x₅= x₁x₂x₃x₄* x₂x₃x₅.

Поэтому

b₁ → β₁ + β₄₅ + β₂₄₅ + β₁₂₃₅

x₄=x₂x₃ +1= x₂x₃x₄ = x₁x₂x₃x₅ = x₁x₂x₄x₅

x₅=x₁x₂x₃ b₁ → β₁ + β₂₃₅ + β₄₅ + β₁₂₃₄