Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-09 | 1133 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть даны две точки , плоскости , пусть . Пусть далее – уравнение кривой, соединяющей точки и , т.е. , . Кривая вращается вокруг оси , заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции , для которой интеграл
– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки и , называются катеноидами.
Функция F в этом случае имеет вид , то есть не зависит от x. Первый интеграл дается равенством
, и тогда .
Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем
.
Удобно далее положить . Тогда
.
Положим и , тогда окончательно – искомая кривая (цепная линия).
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 5
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.
1. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
2. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
3. ,
– круг: .
Граничные условия: .
4. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , .
5. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
6. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
7. ,
|
– кольцо: .
Граничные условия: , .
8. ,
– круг: .
Граничные условия: .
9. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , .
10. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
11. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
12. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
13. ,
– круг: .
Граничные условия: .
14. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
15. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
16. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
17. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
18. ,
– круг: .
Граничные условия: .
19. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
20. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
21. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
22. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
23. ,
– круг: .
Граничные условия: .
24. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
25. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
26. ,
– сектор круга: , .
Граничные условия: , , где – произвольная непрерывная на отрезке функция.
27. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
28. ,
– круг: .
Граничные условия: .
29. ,
– квадрат: .
Граничные условия: .
30. ,
– сектор кольца: , – непрерывная на отрезке функция.
Граничные условия: .
Задание 6
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.
1. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
2. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
3. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
4. ,
– шар: .
Граничные условия: .
5. ,
– шар: .
Граничные условия: .
6. ,
– шар: .
Граничные условия: .
7. ,
– шар: .
Граничные условия: .
8. ,
– шар: .
Граничные условия: .
9. ,
– круг: .
Граничные условия: .
10. ,
– сектор круга: .
|
Граничные условия: , .
11. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
12. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
13. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
14. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
15. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
16. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
17. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
18. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
19. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
20. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
21. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
22. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
23. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
24. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
25. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
26. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
27. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
28. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
29. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
30. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
Задание 7
Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что , построить график движения лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.
Задание 8
Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.
|
Задание 9
Найти решение следующих изопериметрических задач.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
14.
19.
23.
Задание 10
Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.
|
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!