Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-10-09 | 549 |
5.00
из
|
Заказать работу |
В предыдущих лекциях при исследовании функционала
предполагалось, что граничные точки и заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качестве примера задачу навигации.
Задача навигации
В этой задаче рассматривается река ширины с прямыми параллельными берегами. Считая один берег реки совпадающим с осью , введем скорость течения реки . Лодка с постоянной скоростью
( – величина скорости, ), за кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки (рис.1).
Обозначим через угол, который образует вектор скорости лодки с положительным направлением оси . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени определяется равенствами
, .
Отсюда
,
что позволяет выразить через :
,
откуда
.
Для времени пересечения реки находим
.
Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции при условии .
Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой . Мы приходим, таким образом, к задаче со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.
Вариационная задача с вертикальными границами
Пусть в задаче об отыскании экстремума функционала
фиксирована одна граничная точка , условий же на нет. Иными словами, второй конец допустимой кривой может перемещаться по вертикальной прямой .
Нулевая вариация , как и ранее, является необходимым условием экстремальности. Вычисляя вариацию функционала по известной формуле, получаем:
.
Как и ранее, – произвольная функция, в частности, можно взять , что сведет задачу к уже решенной задаче с закрепленными границами. Для нее, как известно, необходимое условие экстремальности означает обращение в тождество уравнения Эйлера. Отсюда следует, что , то есть интеграл в формуле для вариации равен нулю.
Теперь выберем функцию так, чтобы . Тогда требование равенства нулю вариации сводится к условию
.
Если бы левый конец тоже был свободным, получили бы аналогичное условие
.
Решение задачи навигации
Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя полученный выше результат.
Итак, нам следует найти минимум функционала
при условии , а может принимать любое значение.
Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция
зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выполняться условие . Отсюда сразу следует, что вышеприведенный первый интеграл имеет вид: . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
,
для которого легко найти решение. Находя явное выражение для , получаем . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует выбрать знак плюс. Учитывая, что , получаем окончательно:
.
В частности, если , то искомый маршрут наибыстрейшей переправы реализуется на прямой .
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!