Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-10-09 | 315 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Устойчивость решений уравнений с периодическими коэффициентами.
Для механических систем, в которых возможно параметрическое возбуждение необходимо проводить исследование устойчивости систем по отношению к малым возмущениям её параметров, приводящим к параметрическим резонансам, т. е. к неустойчивости системы. Уравнение параметрических колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы в общем случае могут быть представлены в виде
, (1.1)
где вектор обобщённых координат, и квадратные матрицы, элементы которых – действительные функции времени. Матрица при всех является положительно определённой. На матрицы и это ограничение не накладывают. Пусть все коэффициенты уравнения (1.1) – непрерывные периодические функции времени с периодом T, то есть:
. (1.2)
Частота параметрического возбуждения связана с периодом соотношением
Уравнение (1.1) имеет тривиальное решение , которое отвечает невозмущённому равновесию или невозмущённому периодическому движению системы, если уравнение(1.1) получено при исследовании периодических решений. Коэффициенты уравнения зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множество точек, соответствующих неустойчивости, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями динамической неустойчивости механической системы. Если параметрическое воздействие периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особую важность представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами.
|
Теория Флоке-Ляпунова
Введём матрицу-столбец фазовых переменных
Тогда уравнение (1.1) можно представить в нормальной форме Коши
, (1.3)
где матрица размерностью вида
, (1.4)
где нулевая матрица размерностью , единичная матрица той же размерности. При периодическом параметрическом возбуждении матрица периодическая, т.е. .
Система линейных дифференциальных уравнений (1.3) с периодической матрицей коэффициентов имеет совокупность линейно независимых решений, образующих фундаментальную матрицу
, (1.5)
где первый индекс обозначает номер функции, второй – номер решения. Если фундаментальная матрица удовлетворяет условию , т.е. единичной матрице размерностью , то есть фундаментальная матрица Коши или матрицант. Значение матрицанта в конце первого периода, т.е. дает матрицу перехода или матрицу монодромии. Собственные значения матрицы перехода, т.е. корни уравнения
(1.6)
называются мультипликаторами.
Свойства решений уравнения (1.3), в частности устойчивость или неустойчивость его нулевого решения, полностью определяются свойствами мультипликаторов. Для всякого мультипликатора найдётся хотя бы одно решение, обладающее свойством:
. (1.7)
Мультипликатору отвечает периодическое решение с периодом , мультипликатору - решение с периодом . Эти решения называют, соответственно, – и – периодическими.
Если все мультипликаторы лежат в единичном круге , причём мультипликаторы, лежащие на граничной окружности , являются либо простыми корнями уравнения (1.6), либо имеют простые элементарные делители, то решение уравнения (1.1) устойчиво по Ляпунову. Решение уравнения (1.1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга . Решение уравнения (1.1) неустойчиво, если среди мультипликаторов найдется хотя бы один, по модулю больший единицы , или найдутся кратные мультипликаторы с непростыми элементарными делителями [.
|
Выход хотя бы одного мультипликатора за единичную окружность определяет границу между областями устойчивости и неустойчивости тривиального решения уравнения (1.1) на плоскости параметров.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!